DIVIS
ION SEXA
mi':ridii:n Arc de 1"
GÉSIMALi;
PARALLÈLE Arc de 1"
DIVISION DliciMAI.E
Ml'lliniEN Arc lie It.
l'AllAl.LÈLE Arc do le
jj
lll.i2'l
144. Rayons de courbure en un point de l'ellipsoïde ; arcs d'un degré dans une direction quelconque.
1'. — Par une tangente à une surface quelconque, menons un plan normal et un plan incliné faisant avec le premier l'angle 9.
Les rayons de courbure p et p' des courbes d'intersection sont reliés. par l'équation (.)/«//«. Gm., § 455) : P.'^PjCosO.
Or le rayon (de courbure) du parallèle de latitude l passant au point Q est (§ 140) :
, ficosl
V 1 — e-sin- 1 Donc le rayon de courbure de la section normale de l'ellipsoïde par un plan normal au méridien du point Q est :
yl — e-sin-i
202 GÈOGnAPIlIE MATIlliMATIQVE
Le rayon de courbure dans la section méridienne est(§ l'il) a[i—e--) __h- 1
''' (1 — e-sin-Z)] a (1 — e-sin-/)r Pour trouver le rayon de courbure dans une section normale faisant avec le méridien l'angle 0, appliquons la formule de Meusnicr
[Malh. Géii., % 454) :
cos-G sin-0
Les arcs d'un degré suivant les directions principales et suivant une direction quelconque sont :
Ce serait une erreur grossière de confondre l'arc A^ d'un degré normalement au méridien, et l'arc qui correspond sur le parallèle à la variation d'un degré do longitude, arc que, pour faire court, on appelle un degrc de parallèle. 2°. — Supposons l'ellipticité e^ très petite. On a immédiatement : A„ — A, p, — p, ('- ,,
On peut donc calculer l'ellipticité si l'on connaît, au voisinage d'un point de la Terre, un degré de latitude et un degré sur le grand cercle normal au méridien.
Il en serait de même si l'on connaissait un degré de parallèle, juiisqu'on a : p/^p^cos/,
et que les arcs d'un degré sont dans le rapport des rayons de courbure : A/ = AjCOs/.
145. Méthode de Cassiui pour déterminer si la Terre est sphérique ou non.
En 1735, Cassini II proposa une curieuse méthode pour savoir si la Terre est sphérique ou non. Supposons qu'il existe dans l'équateur une montagne assez haute et d'où l'on puisse voir à la lois l'ouest et le nord, par exemple.
Déterminons dans ces deux azimuts la dépression de l'horizon.
De la différence de ces dépressions on conclut immédiatement l'aplatissement de la Terre.
rnOl'UIliTES GÉOMliTRIQCr.S de L-ELLIPSOIDE de nÉVOLiTIOS 203
Opérons ilans ra/.iimit principal où le rayon de courbure est R,. Dans le triangle CMA, on a :
;R. + /Ocosç, = H.,
Soit li, le rayon de courjjure dans l'autre azimut principal
Figr. 122.
Or à rér|uateur les rayons de courbure principaux sont a et l/-: a; leur rapport a- : O'-
D ou : ç, — 5. = V,' — 11 =aV — ,
a est l'aplatissement.
Posons que l'angle ;, ou o, est d'un degré : \'27rrrt = 0,01745, 2 /lia = 0,000304 = 1 : 3290.
Cela correspond à une hauteur h d'environ un kilomètre.
La dillcrence des dépressions (égale à la différence i, — i.) est alors de 12" pour "«=1:300.
Elle serait parfaitement mesurable, à supposer que la visée sur la mer soit précise : malheureusement les réfractions compliquent singulièrement l'expérience.
Le calcul pour une latitude quelconque est sans difliculté, puisqu'on connaît les rayons de courbure principaux. Je ne le fais pas, la méthode étant inapplicable et ne servant qu'à fixer les idées.
Il va de soi qu'au pôle la dépression doit être la même dans tous les azimuts.
146. Remplacement autour'd'un point de l'ellipsoïde par une sphère.
11 n'est pas rare de trouver dans les Géodésies la phrase suivante : on remplace l'eHIpsoide par la sphère osculalrice.
On oublie seulement de dire ce qu'ion entend par là.
Parfois cette soi-disant sphère osctdatricc est la sphère tangente à l'ellipsoïde suivant le parallèle passant par le point considéré.
Son centre est sur la normale à l'ellipsoïde; son rayon est la grande normale : ~S^z,.
Parfois le rayon de cette sphère est défini par l'une des formules : ./77, (i -1-0^. : 2.
Montrons qu'elles sont pratiquement équivalentes. On a :
f, = fl(l — e-)l 1 + ;^e-sin-ri =« {\. — e^-\-^e-sin-l\.
GEOGRAPHIE MA THEMATIQUE
p,p, = rt-(l — e= + 2 e-sin-/).
147. Distance de deux points donnés par leurs coordonnées géographiques.
i". — Considérons la Terre comme sphérique.
Soit /,, /j les latitudes, soit L la différence des longitudes.
La distance angulaire s entre les points est donnée par la formule :
cos^=:sinZ,.sinZj + cos/,.cos/„. cosL. (1)
On peut écrire cette formule :
Posons
cos.î^cosi7
/J — 2cos/,.cos/j. sin- .
Si Z et L sont petits, la formule devient (en développant le sinus et les cosinus en série) :
