l — sin
C'est la formule classique donnant l'angle solide d'un cône de révolution ayant 'M" — l comme demi-angle au sommet.
Par suite l'aire de la zone limitée par les parallèles de latitudes l^ et /,, est :
2r.{s\nl^ — sin^J.
D'où pour l'aire des rectangles sphériques limités par deux parallèles et deux méridiens dont la diflerence des longitudes est L : S = L (sin/j — sinZJ.
On multipliera par le carré du rayon.
2". — Appliquons à quelques exemples.
La surface totale de la Terre est de 510.065 X 10^ kilomètres carrés. Partageons-la entre les zones géographiques. Entre l'équateur et le tropique, on a :
sin^,— 0 = 0,398.
Entre le tropique et le cercle polaire on a :
sin^,—sin/. = 0,918 — 0,398 = 0,520.
Enfin entre le cercle polaire et le pôle, on a :
1 — sin^, = 0,082.
Divisons la surface totale proportionnellement à ces trois nombres.
Pour les deux zones glaciales 41-825x10^ kil. carrés. Pour les deux zones tempérées 265'234xi0' kil. carrés. Pour la zone torride 203 006x10' kil. carrés.
3°. — Reprenons le même problème sur l'ellipsoïde.
L'aire d'une zone qui correspond à la latitude moyenne / et à la variation de latitude (// est ;
dS = 2r.x.ds = 2-X',^dL, d'après la définition même du rayon de courljure et de la latitude. On a(H'»0) :
r/cos/ n[\. — e-)
''~vi — e-siïï^/' ^'~(1 — e-sin-Zir Développons en série ; ne conservons que les termes en e^ : 2::.rp///'=27rrt'(l— e-)cos/[i— 2e-sin-/]r//.
S=S„ + 2zZ'^rsin / + =;^"sinV"|.
C'est la formule précédente à laquelle est ajouté un terme en sin'^. L'aire de l'ellipsoïde entier s'obtient en faisant ^=00" dans la formule précédente et la doublant :
L'aire comprise dans le trapèze déterminé par deux méridiens et deux parallèles est :
S = L6- [(sin/, — sing + ^'(sin^7^ — sin'/jl.
On utilise cette formule pour déterminer la surface d'un pays.
4°. — Admettons 510-065-iO' pour la surface totale de la Terre.
La surface d'un fuseau compris entre deux méridiens distants d'un degré, est : 1-416-800 Idlomètres carrés,
soit pour le demi-fuseau : 708400 kilomètres carrés.
A partir de ce nombre, considérons la Terre comme sphérique : nous pouvons aisément calculer les aires des trapèzes rectangles dont les côtés sont d'un degré. Le premier vaut :
