Aire d'un triangle. Excès sphérique
Soient A, B, C, les angles d'un triangle tracé sur une sphère dont le rayon est pris pour unité. La surface du triangle est égaie à l'excès de la somme (A -\- B -f- Ci sur deux droits : Sr.. A + B + O — -.
Par exemple, si les trois angles sont droits (S=:z :2;, le triangle est le huitième de la sphère; on retrouve bien 4z pour surface totale.
Pour lixer les idées sur l'ordre de grandeur des excès sphéri(|ues, soit un triangle dont la hauteur et la base valent 1 degré, c'est-àdire 111 kilomètres environ.
L'aire du triangle traite comme rectilignc vaut 111": 2 kilomètres carrés.
Prenons 6378 kilomètres pour rayon moyen de la Terre.
La surface du triangle qui sur la sphère de rayon 1 correspond au triangle donné, est :
■ ni': (2 XÔ3^') = 0,0001517, soit un peu moins de 32".
Nous n'aurons à considérer des triangles aussi grands que très exceptionnellement (S 172); l'excès sphérique est d'un petit nombre de secondes pour les triangles ordinairement utilisés dans les triangulations géodésiques.
Lig^nes géoclésiques d'iin ellipsoïde de révolution.
150. Equation générale. Application aux surfaces de révolution.
J . — Les lignes géodésiques sont fondamentales en Géodésie;
nous devons préciser nos idées à leur égard.
Soit AB un élément infiniment petit d'une courbe ABC'tracéesur une surface dont BN est la normale au point B.
Appelons a, ^i, •;, les cosinus directeurs de la normale; a, b, c, les cosinus directeurs de l'élément AB.
Quand nous passons de A à B, les variations des coordonnées sont (en posant AB=:(/5) :
cl.v = ads, di/^=bds, 'dz=^cds- A l'arc AB de la courbe doit succéder un arc BC tel que le rabattement sur le plan tangent du
rig. 123.
prolongement recliligne BGD de l'arc AB s'effectue suivant une parallèle CC à la normale BN.
C'est la dcfinilion de la géodcsii/ue élcnieni par élément.
Voyons d'abord ce qui résulte de cette définition.
Le plan osculateur de la courbe (plan ([ui contient deux éléments consécutifs) est normal à la surface : c'est évident, puisque par construction il contient la normale.
L'angle ;=:CBG' est infiniment petit; on a donc :
BG' = BC: cos/ = BG( l + ,j-
D'où au troisième ordre près : BG'=;BC.
La distance AC' entre A et G' est donc minima.
La ligne géodésique est la ligne la plus courbe tracée sur la surface entre deux de ses points.
D'oii le tracé d'une ligne géodésique sur une surface; voici le procédé des peintres de carènes. Ils frottent une corde sur de la craie pour la saturer de poudre blanche. La tirant par ses bouts, ils l'appliquent sur la surface, suivant une géodésique par définition. Ils la soulèvent alors légèrement par le milieu et la lâchent : elle frappe la surface et laisse une empreinte Ijlanche qui est précisément la géodésique.
Il résulte de la construction même que la géodésique est complètement déterminée par son origine A et par l'orientation de son premier élément dans le plan tangent à la surface au point A.
2°. — Gherchons son équation différentielle.
Ecrivons que pour obtenir le point G' (fig. 123), nous ajoutons géométriquement au vecteur BG prolongement de AB (dont par suite les composantes sont proportionnelles à a, b, c), un vecteur CG' parallèle à la normale BN de cosinus directeurs a, (3, y-
Les composantes du vecteur BG sont proportionnelles à a-\-da, b-\-db, c-^dc; celles du vecteur GG' sont par conséquent proportionnelles à da, db, de.
D'oii l'équation différentielle de la ligne géodésique :
da db de
Soit / [x, y, ;;) = 0, l'équation de la surface. On a
D'autre part sur la courbe on a :
dx j dij dz
cls^ ds'' ds'
L'équation différentielle prend la forme :
d'-x Of d'-y df d-z Of ds- ' dx ds- ' Oy ds-' dz'
rnorniÉTÉs GiioMiirniQiEs df. l'eu.ii'soïde de RÉvoLunoy
