Surface de révolution. Théorème de Clairaut
1". — La surl'ace do rovoluliuii a |)(>ur ('(lualioii :
La première des équations (1) devient :
.r (Ib — 7/ (la = 0, X Vr — '/ -tt = 0
ds
Son intégrale est :
.r r/// — /y i/.r^:= /■„ rZ^ ; ' (2)
/•„ est une constante d'intégration.
Prenons pour coordonnées la longitude L et la latitude géocentrique h.
Appelons /■ le rayon du parallèle. On a :
.i- = /cosL, ^ = /'sinL,
Fig. 124.
rfj;=cosL.f//- — sinL./Y/L, di/ =^sinh. dr + cosL./'rfL.
Substituons dans (2) :
,--dL=fvls. (3)
Soit AB = f/.y, l'arc de courbe; soit Z l'angle qu'il fait avec le
mériilien. On a : (/i. sinZ = AB' = /-rfL.
Substituons dans i3) : /•.sinZ = /-„. (4)
/•„ est le rayon du parallèle pour lequel la géodésique est normale au méridien, c'est-à-dire auquel la géodésique est tangente. Il résulte de là que si la surface de révolution est symétrique par rapport au plan -vOy et y possède le' rayon /• maximnni, c'est dans ce [)lan que les géodésiques sont le plus verticales possilde. 2°. — On a :
ds- = (lx- +(ly- + dz- = (//■- + rulL- -{- dz'. Utilisons l'équation (3). II vient les deux formes équivalentes : ,■'- >•'- — /■„'-) dU=r,^ {dr'- + dz'), (/•- — /■„-) ds- = r- {dr- + dz-). ;5)
152. Application à une sphère, à un cylindre, à un ellipsoïde infiniment aplati.
Avant d'aller plus loin vérifions le théorème pour une sphère, un cylindre et un ellipsoïde infiniment aplati.
1°. — Sphère.
La géodésique est un grand cercle PAC
Fig. 125.
Dans le triangle sphérique APV, rectangle en P, on a
sin Z 1
sinPV"~sinAV.
rnOl'IllÉI/SS liEOMKrilIQLES DE I.ELI.Il'SOIDE DE HÉVOLCTIOS' J'.l
On a lie plus :
siiiAN' sinPN' ,, . . ,, ^^ ; clou: /•.sin/;^/o.
C'est rë(|uation de Legendre.
La projection de la géotlésique sur le plan vOjj est une ellipse Jlg. 125). La partie C'PC est au-dessus de rO/y, la partie CP'C est au-dessous. Le cercle PP' est la projection des deux petits cercles auxquels la géodésique est tangente en P au-dessus de .»()//, en P' au-dessous.
Soit /„ la latitude du point P, / celle du point A.
Appelons a le rayon de la splière.
Dans le triangle YAP rectangle en P, on a :
tg/ sin/
cosL=-^, cos.$ = -i — rtg io sin /,,
Plus loin, pour l'ellipsoïde, nous utiliserons les variaiiles - et to définies de la manière suivante en fonction des latitudes réduites X„ et A :
sin"/, tg/.
C0Sj=:^ , C0S(.)^-2 — .
sm /.„ tg Ao
Pour la sphère, les latitudes vraies se confondent avec les réduites. On a par suite :
L = (.), " s = ug.
Nous généraliserons plus loin ces formules pour l'ellipsoïde faiblement aplati.
3°. — Ellipsoïde de révolution ixfimmext aplati.
C'est un disque circulaire. Chaque géodésique est un polygone HCDE... dont tous les côtés sont égaux.
Les méridiennes de la surface sont des droites qui passent par l'origine O des coordonnées. Il est clair que la condition de Legendre est satisfaite :
/■. sinZ = /■„.
Les côtés sont alternativement au-dessus et au-dessous du plan. Pour bien comprendre ce qu'il en est, le lecteur enroulera du fil sur un disque circulaire de papier, de manière qu'il soit tendu et qu'il ne glisse pas, même à supposer le papier parfaitement poli.
La longueur des côtés en fonction du rayon a du disque est :
w = 2vR- — /•„-.
Pour /•o = 0, /«=2R.
Le polygone se réduit aux deux droites GD, DG. Pour r^^R, /h^O.
Le polygone a un nombre infini de côtés de longueur infiniment petite.
Suivant la valeur de /„, la géodésique est fermée ou indéfinie.
212 geographie m atii ê m ati qv e
3". — Ellipsoïde de révolution im-imment allongé.
C'est un cylindre circulaire.
Les méridiennes sont les génératrices. Les géodésiques sont des hélices; la propriété fondamentale de l'hélice est de faire tout de son long le même angle avec les génératrices : r^i-, sinZ = Constante.
La projection de toutes les géodésiques sur le plan xOy est la circonférence section droite du cylindre.
