PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DE L'ELLIPSOÏDE DE RÉVOLVTIOS

Coniparanl les azinuils pour les trois surfaces, on a : Z" > / > //.

2". — Clairaiil proposait un second moyen de résoudre !<' problème.

Une sphère, un ellipsoïde aplati et un ellipsoïde allonge, de même axe de révolution, ont un parallèle commun. A partir d'un point P sur ce parallèle, traçons sur les trois surfaces les perpendiculaires à la méridienne (géodésiques normales à la méridienne au point P). Elles se disposent dans l'ordre indiqué par la ligure 127.

Fig. 127.

Donc pour une même variation de latitude, la longitude est la plus grande sur l'ellipsoïde allongé, la plus petite sur l'ellipsoïde aplati. D'autant que, pour obtenir cette même variation de latitude, il faut descendre d'un arc plus long sur la géodésique G" que sur la géodésique G'.

Si la surface nous est donnée ainsi que le point de départ P, la perpendiculaire à la méridienne est déterminée. L'une des quatre quantités L, l, s, Z, détermine les trois autres.

D'où une série de méthodes pour vérifier la forme de la surface.

154. Ellipsoïde de révolution faiblement aplati suivant la ligne des pôles.

A'oici les résultats trouvés par Legendre (en 1806); ils sont faciles à comprendre à la lumière des cas particuliers du § 152.

Je reviens ensuite sur le traitement analytique du problème.

1". — Nous ne particularisons rien en supposant qu'au point de départ A (fig. 128), la géodésique est tangente au parallèle, parce que les géodésiques qui passent par un point quelconque de la surface, font toujours partie d'une perpendiculaire à une méridienne.

Issue du point A de latitude réduite Ao, la géodésique reste tout entière au-dessus du parallèle, qui se voit en projection suivant

AGCE. Elle coupe Téquateur au point H (en projection elle est tangente à l'équateur, puisque celui-ci est un contour apparent.

La longitude du point B par rapport au méridien du point origine A est inférieure à 90° et égale à :

OU" (1— 3! cos "/.„).

La géodésique passe alors sous l'équateur; on obtient immédiatement le nouvel arc en observant que les points situés de part et d'autre à des latitudes égales en valeur absolue, ont avec le point B des différences égales de longitude. Autrement dit, lesprojections des arcs AB et BC sont symétriques par rapport à la droite BP.

La géodésique tangente donc le parallèle de latitude — Ao au point G de longitude :

Elle remonte alors, coupe l'équateur en D et revient tangenter le parallèle de départ au point E, -à une distance (en longitude) du point A :

360 (1 — j(Cos/,o).

Et ainsi de suite.

'2°. — Ainsi la géodésique oscille entre les parallèles de latitude ±"/.„, sans revenir jamais à son point de départ.

Elle se compose d'une infinité de fcslons dont la longueur est :