Etude analytique des géodésiques

t\ — Utilisons la latitude réduite.

Soit comme plus haut a et b les demi-axes.

Ecrivons : c = 6sin>,, /■=r/cos/.. (6)

L'ellipse méridienne a pour équation :

La condition de Clairaul prend la forme : cos A.sinZ = cos/„,.

Substituons les valeurs ,(>; dans les équations (5) du *i L51

,. (I'k cos a„ . /a- sin- a + 0- cos- X

rtcos"/, ^ cos->. — cos-A„ '

I 7. - . /«-sin-A + 6- cos-X

(Is = rtA. cos A V •

' cos-X — cos-Xo

Introduisons la quantité ci-dessus définie :

,. /j ,. cosXo \l + E-sin-X

cos A \sin-Xo — sin-X

, , 7 • . s y/i + E-sin-X (Is = 0. (l ^sin Al

V sm- A„ — sin-A

2°. — Legendre ramène à des intégrales elliptiques le calcul des quantités L et s. Pour cela il pose (comparer au § 152) :

sinX tgX

cos 7=^^, cos 10 = -^, (7)

SlUAo tgA„

ce qui est permis, puisque la géodésique reste constamment entre les parallèles rhX„. Les quotients sont donc toujours plus petits que l'unité : les cosinus sont réels.

Donnons-nous les latitudes réduites Xo et X du point de départ et du point d'arrivée : nous pouvons calculer les quantités r; et w.

Substituons :; à la place de X. Il vient aisément :

,, l' V'I + E-sin-A„. cos-a ,

"L^ T ; ^r—, ch,

a cos Xo 1 + tg-X„. sin- 7

. — Z) v^l + E-sin-Xo v^l — Ar-sin-j .

a cos X„ 1 + tg- Ao- Sin- 7

en posant : /i-==E-sin-X„:(i + E-sin-X„).

De même :

V ds^ — & \ 1 + E-sin-Xo. \1 — A-sin-s.rfj.

On démontre que le calcul des intégrales 5 et L s'effectue à l'aide des tables des intégrales elliptiques E et F; c'est évident pour s qui ne dépend que de l'intégrale E. Je n'insiste pas, puisque, en Géodésie l'aplatissement étant toujours très petit, les formules se simplifient.

0'°. — Dans le cas d'un aplatissement petit, on développe la solution en série; on se borne aux termes en E- qui représente alors le double de l'aplatissement.

Legendre trouve pour longueur de l'arc ,v de géodésique couipris entre les deux points, et pour longitude du second point :

j=z(l + ^sin-X„ j 7+ ^sin-Xo. sin 27, (8)

L = o) — a7C0SX„. (9)

rnoPRiÉriis GÉOMEiniQLEs dp. i:i:i.i.irsoii)E de hévolvtion 217

Nous retrouvons les résultats précédeiunicnt ('iioncés en posant : /. = 0, a=,„ = z:2,

En posant z^^O, nous retrouvons les Ibrnuiles [)our la sphère ■i 152).

Rappelons f(ue la lalilmle rrduili' X est reliée à la Idliliuie I par la •■el^t'on : rt.tg>. = /Atg/. (10)

'/". — Le problème peut être posé en sens inverse On donne la longueur s de l'arc (Je géodésique; on demande de calculer les coordonnée "a, L, de l'extrémité de l'arc. Pour trouver la solution, il faut renverser la série (8) :

.V r, z . ,. a . ,. • 2.s'1 - = ^[1 — 2Siu-/,„— ;rSin-A„.sin-J.

Connaissant .ç, on calcule 7, puis a et m par les formules (7). La formule (9) donne L.

On passe de la longitude réduite à la longitude proprement dite au moyen de la formule (lOi.

5". — Revenons sur le S ^53 en utilisant la formule :

\'oici le texte de Clairaut i « La longitude d'un lieu quelconque placé sur la ligne de J\L Cassini [perpendiculaire à la méridienne] est plus grand pour un sphéroïde allongé [y.<;0] que sur la sphère, su|)posant que la latitude soit la même [m et d donnés]. Ainsi on n'a qu'à prendre un lieu sur cette ligne dont on connaisse la latitude, et en calculer la longitude en supposant que la Terre soit sphérique, ce qui se peut aisément par la résolution d'un triangle sphérique. Si celle qu'on trouve par l'observation est plus grande, le sphéroïde est allongé, et au contraire. »

A la vérité, en 1733, la détermination des longitudes n'était pas assez précise pour que la méthode fût d'un grand secours.