Théorème de Legendre

1°. — On donne un triangle sphérique d'angles A, B, C, de côtés rt, h, c, petits, de surface S.

Il existe un triangle rectiligne de même surface S, de mêmes côtés r/, i>, c, dont les angles sont :

Rappelons (§ 149) que l'aire du triangle sphérique construit sur la sphère dont le rayon est pris pour unité, est :

S = (A + B+C) — -; S est Vc.rcès sphérique.

La somme A + B + C est donc toujours supérieure à 2 droits; il est clair que la somme A' -|- B' + G' est égale à deux droits, condition fondamentale pour que les angles A', B', C appartiennent à un triangle rectiligne.

Dans le triangle sphérique on a :

sin (^/. sinZ*. cos C = cosc — cos a. cosb.

Par hypothèse les côtés a, h, c, sont petits. Développons les sinus et cosinus en nous limitant au quatrième ordre :

sinrt. sinZ) = ( a — -rrllô — yr ]^ab

trrABLissEMB.\r dix nÉsE.iV de thiasgle s Vi\

(sin «. sin 6)-' = f«6)-' (^1 + î^i±A\ On trouve immédiatement :

cosC = ^—7 V- rrr^i . 1

1 ab l'i ub ^ '

2". — Soit niaintenaut C l'angle du triangle rectiligne de mêmes côtés. Un théorème élémentaire donne :

cosC':= rr-î 1 d ou : sin - C = \ ,., -.

lab kab-

Coinpai'ons à la formule (1 \ il vient :

cos C = cosC' -r sin-C' = cos C — — sinC, (2)

puisque (ib sin C est le double de l'aire du triangle rectiligne qui par hypothèse est égale à celle du triangle sphérique. Posons : C = C + s. D'après la formule de Taylor :

cosC = cos(C'+ £) = cosC' — îsinC. (3)

La comparaison de (2y et de (3), donne : £=S:3.

Ce qu'il fallait démontrer.

Nous raisonnons sur la sphère de rayon 1.

Sur la sphère de rayon R, la surface du triangle sphérique est : Z = SR-.

Les côtés du triangle sont r/R-, bVC-, oR-.

3°. — Les paragraphes suivants montreront l'intérêt du problème dont voici l'énoncé.

Dans un triangle sphérique, on connaît deux côtés a, b, et deux angles: on demande de calculer le troisième. Si le triano-le était rectiligne. la somme des angles valant 2 droits, la solution irait toute seule. Mais le triangle est sphérique. Les côtés étant petits et l'excès sphérique étant toujours un petit nombre de secondes, on calcule avec une approximation suffisante l'aire du triangle par la formule : .2S=rtisinC.

On a alors : A + B + C — ^ = 5;

d'où le troisième angle du triangle à partir des angles connus.

4". — Ce qui précède se rapporte à une sphère. On admet que l'ellipsoïde terrestre est de révolution : il est alors suffisant de calculer l'excès sphérique comme pour une sphère tangente à l'ellipsoïde suivant le parallèle dont la latitude est celle du centre du triangle.

Etant donné un triangle géodésique, on en calcule donc la surface il avec une précision qui n'a pas besoin d'être grande. Admettant pour l'ellipsoïde terrestre une certaine forme (c'est-à-dire un certain rayon équatorial et un certain aplatissement, on calcule les rayons R des sphères tangentes suivant les parallèles de deo-ré en

2i4 GEOGRAPHIE M A TIIÉ M A TfQ CE

degré. Connaissant la lalitiule du centre du triangle, on a donc le rayon Rà utiliser dans le calcul de l'excès sithérique : S=S : R-.

Si on a mesuré les trois angles A, B, C, le calcul de S fournil une vérification de l'exactitude des mesures; c'est le cas de toutes les opérations géodésicjues du premier et du second ordre. Si on ne mesure que deux des angles, l'excès sphérique donne le troisième.

On trouve dans les traités de Géodésie, des tables fournissant immédiatement l'excès sphérique pour des triangles dont on donne la hauteur et la base (en mètres), ou pour des triangles rectangles dont on donne la base et l'angle adjoint; si le triangle est connu par sa base et par les angles adjacents, on ramène sa surl'ace à la somme des surfaces de deux triangles rectangles. Les tables sont établies pour un i-ayon R conventionnel. Pour un autre rayon R', il suffit de multiplier le résultat lu par (R : R')-. Le rayon R est généralement celui qui correspond réellement à la latitude de 45".