Lignes géodésiques

1°. — La difficulté théorique du problème gît dans le calcul de la méridienne à partir des triangles : il s'agit de savoir quelle courbe AMM M"... nous déterminons par les opérations précédentes.

Montrons que dans l'Iu/potlièse que la vc/iicale est nonnak'. à la surface, c'est une géodésiquc, quelle que soit d'ailleurs la forme de la surface.

Je rappelle que la géodésique est la courbe la plus courte tracée sur la surface entre deux points A et B; elle est décrite par un lil tendu entre A et B, et s'appliquant sur la surface supposée parfaitement polie.

Elle jouit de la propriété que ses plans osculateurs (plans menés par deux tangentes voisines) sont normaux à la surface (S 150).

2". — A partir de cette propriété, voici comment on peut tracer la géodésique à la surface de la Terre, à supposer que les verlicales soient les normales à celte surface.

Au point A réglons verticalement l'axe d'un théodolite auquel nous imposons l'azimut arbitraire a : ce/ nziinul drierniine la géodésique.

Disposons un signal en M dans le plan horizontal du point A, de manière qu'il soit visé par la lunette du tiiéodolite.

Transportons le théodolite en M; réglons son axe verticalement. Imposons à l'axe horizontal un azimut tel que nous visions le point A. Faisons tourner la lunette de 180° autour de son axe horizontal : nous déterminons ainsi dans le plan horizontal de M un nouveau signal M'.

Transportons le théodolite en M'... Et ainsi de suite.

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Nous Irarons ainsi sur la surface une couilje dont les arcs consécutiCs MA, MM , (|iii aboiitissenl on M, lorinent un plan avec la verticale (lu |)oint M. C'est la dciiniliun niènic de la géodésique par la propriété de son plan osculatcur.

H". — Voici une opération équivalenle (|ui nous amènera à l'opération réelle. (Circonscrivons à la surl'ace un polyèdre d'un grand nombre de laces; la figure l'i'i en montre deux, ABC et BCU.

Soit X'Slin'm"... une tige rigide dont le côté AM est dans la face ABC. .\ partir du point M, elle est au-dessus de la face BCD. Nous allons la casser de sorte qu'une portion 'Slin' coïncide avec cette face suivant MM'. Nous pouvons le faire d'une infinité de manières. Mais si nous voulons que les arcs AM, MM', fassent partie d'une géodésique, le plan AMM' devant être normal à la surface, il faut rabattre le point m' de manière qu'en venant en ^I', il parcoure un petit segment de la verticale, c'est-à-dire de la normale à la face BCD.

La droite BG appartenant à cette face, il faut faire tourner le système CM/»'7«" autour de BC comme charnière; ce qui conserve l'angle primitif CM/;?'. L'opération revient donc à calculer la position du segment MM' sur la seconde face, en posant l'égalité des angles - — CMÂ et CMM'.

Nous retrouvons la technique du paragra-phe précédent.

Le lecteur remarquera fju'en faisant tourner 'Mm' autour de G avec conservation de l'angle GM/»', le segment M//^' décrit un cône qui, vu la petitesse supposée de l'angle des faces ABG et GBD, admet précisément la face GBD comme plan norïual le long des génératrices Mm' ou MM' ;^ 150;.

Eu définitive, dans lliijpolhèse que la verticale est normale à la surface, la courbe que tracent les géodésiens [courbe géodésique) a la définition suivante : son premier côté (dont la direction est quelconque" est tangent à la surface; son second côté est le prolongement du premier cassé dans un plan vertical; son troisième côté est le prolongement du second cassé dans un plan vertical; etc.

Cette définition revient à rabattre les parties successives de la

courbe à mesurer, en maintenant constant l'angle avec une droite de direction quelconque menée dans le plan langent par le point de cassure.

Ce que précisément nous avons fait.

Il résulte de la définition même que pour un corps de forme quasi sphérique comme la Terre, une ligne géodésique menée dans une direction quelconque se confond sensiblement avec la section verti cale correspondante, sur une étendue de plusieurs degrés.