Détermination de la géodésique avec des piquets
i°. — Supposons le surface de la Terre parfaitement unie. Plantons une ^érie de piquets de manière qu'ils soient exactement effacés les uns par les autres; il est clair qu'ils sont tous dans le même plan. Si au point de départ P nous plaçons le premier piquet verticalement, l'ensemble des piquets matérialise un plan vertical du point P. Si nous plaçons le second piquet dans la direction du méridien du point P, ou dans celle du premier vertical, nous matérialisons le méridien ou le premier vertical du point P. Je souligne certains mots pour appeler l'attention du lecteur sur le fait que les plans définis sont, non pas un vertical ou le méridien in génère, mais un vertical et le méridien du point P. C'est seulement pour une surface sphérique qu'un vertical ou le méridien au point P le sont pour tous les points d'intersection de la surface par le plan décrit.
2". — Utilisons maintenant les piquets d'une manière toute différente.
Plaçons- nous au point A. Au point B, dans la direction choisie, faisons planter un piquet vertical. Déterminons le point C de manière qu'il soit effacé par le piquet BB'.
Transportons-nous au point B. Au point C faisons planter un piquet vertical.
Déterminons le point D de manière qu'il soit effacé par le piquet
ce.
Transportons-nous au point C... Et ainsi de suite.
Nous traçons une courbe ABCD telle que deux éléments consécutifs sont dans le plan vertical du point commun : c'est une géodésique.
3". — Que le lecteur comprenne bien la dilférence des procédés. Dans le' second procédé, vus du point A, les piquets BB', CC, ne sont pas eflacés l'un par l'autre; deux piquets conséc^utifs ne sont généralement pas dans le même plan; autrement dit, les normales en B et en C ne se coupent généralement pas. Pour déterminer le point C, nous lui imposons seulement d'être dans le plan ABB', quelle que soit la direction de la normale CC. La courbe tracée est donc généralement une courbe gauche.
Il est d'autant plus nécessaire de réfléchir sur ces points fondamentaux (bien entendu nos professeurs glissent dessus, i)ressés qu'ils sont de fourrer de l'algèbre et des considérations transcen-
Ér.tiiiissEMKyT /j i y itt>>i:.{V du miASGLES 210
dantes) que les im'îmes reiiiar(|ues se iirésenlcnl l/ico/irjuenient dans la déliniliou des triangles à la suiface de la Terre.
L'angle P d'un triangle PQlî est l'angle j)lan du dièdre formé par les plans (jne définissent la normale PP' et les points Q et II. L'angle Q est de même l'angle plan du dièdre formé par les plans que définissent la normale QQ' et les points 1* et R. Mais les deu.x plans
PP'Q et QQ'P ne coïncident pas; le plan QQ'P ne contient pas la normale PP'. A la vérité, la différence est insignifiante pour un côté PQ; mais ces différences s'additionnent le long de la géodésique et finissent par devenir considérables même pour un ellipsoïde peu différent d'une sphère.
4°. — Arc perpendiculaire .v la méridienne.
Il résulte de ce qui précède que la courbe tracée par les méthodes géodésiques sur la surface terrestre supposce quelconque, à la seule condition que la droite de référence (verticale} soit en tout point la normale à la surface, ne dépend absolument que de la direction suivant laquelle on l'amorce au départ.
Supposons la surface de révolution. Dans le cas où la courbe part suivant un méridien, nous traçons une méridienne. Dans le cas où elle part normalement au méridien, nous traçons une courbe qui n'est pas un parallèle : sur une petite longueur seulement elle se confond avec la section normale à la surface qui est tangente au parallèle du point de départ. La courbe qui part normalement au méridien, est un grand cercle quand la surface est une sphère ; elle est à double courbure quand la surface est un ellipsoïde de révolution.
Nous n'avons aucun moyen géodésique de tracer un parallèle. Le lecteur s'e.xpliquera maintenant pourquoi, dans le travail prélimi-
250 GEOCIlAPIllE MATHEMATIQUE
naire de la carte de France, on a réalisé des résçaux de triangles fournissant des pi'r/x'iKficu/aires au iiirridieii (le Paris, et non pas, comme il semble d'abord plus natui-cl, des parallrles, c'est-à-dire des lieux de même latitude.
177. Calcul des coordonnées géographiques à partir des mesures géodésiques.
Résolvons le problème suivant, dont nous verrons l'intérêt pour F l'objet qui nous occupe.
7°. — On connaît les coordonnées géographiques du point M; on a mesui'é la dislance ^IN = .y, et l'azimut A.
On demaiide les coordonnées géographiques du point N.
Plaçons-nous d'abord sur une sphère dont nous prenons le rayon pour unité. Supposons l'arc ,9 très petit; projetons-le sur le méridien et sur le parallèle.
Les variations A/ de latitude, AL de longitude sont comme première approximation :
w \ . ^ sin A
A/^.s'cosA, AL = i' ;.
cos/
Supposons s exprimé en mètres.
Soit N le rayon de la s|)hère. Les formules deviennent :
l'ig. 1
A/ = j^cos A,
s sin A
?". — Cherchons une approximation meilleure, en nous supposant encore sur une sphère. Partons de la formule :
sinZ'=:sin /-. cosa' + cos l. sins. cos A. (1)
Considérons 1-' comme une fonction de s. Posons :
sinr^Pcos5 + Qsins. Développons suivant les puissances croissantes de s.
On a :
cos j . -ï- = — Psin5 -)- () COS. 9, (Is
— sin/'
dry „dHds) +^°'^7F^■
Pour 5=0, on a donc
dl' Q .
-7-^ , = cos A, ds cost
dH'
Pcos.v — Qsin.9.
= — tSf/.sin^A.
D'où, appliquant la formule de Taylor :
A/ = A'cos A — :j-tg/.sin-A.
/:r.iBi.issEMEyr wvn héseav ue tihangles 251
Les traités de Oéociésie résolvant ces problèmes d'une manière inlininient com|ili(|uée, voici une méthode plus directe.
Posons : >.-=/' — /.
Développons en série le premier membre de la formule (1).
Dans le second membre, remplaçons cosa' et sin .y par leurs développements :
sin r=:sin(/ + >.) = sin^ + Xcos/ — r^sin/ Vcos /;
•/.-Çtg' — ^^-T^g^ + cosA (*-|)- (2)
l'oiir résoudre cette équation, posons :
>, =^ cos A + M5- + N.s' ;
substituons dans le premier membre de (2); égalons les coefficients des mêmes puissances de s :
2M = — tg/.sin-A, 6N=sin-A.cosA{l — 3tg- /).
Doù:
A/ = 5 cos A — -j tg/. sin-A. + ^sin-A. cosA(l + 3tg-/;.
ù"\ — Le triangle MI'N donne exactement et au troisième ordre
près :
sin AL sin A .^ sin A
— -■ = 77, AL=5 jT.
sin.v cost cos(
Remplaçons cos/' par cos/ — A/, sin / :
.^ sin A sin A. cos A. sin/
AL = 5 ; -r .S- -; .
cos/ cos'/
'i". — Les formules de la trigonométrie sphérique donnent (en posant P^AL) :
cos A'=cos A. cosP + sin A. sin P. sin/. Posons A' — A = AA=2. On a :
cos A' = cos ^ A + a}=cos A — :(sin A — -rjcos A.
D'oii : 2 sin A + -^cos A^-^ cos A — P sin A. sin/.
Nous avons trouvé plus haut :
P:^- ;sin A' = >'sin A -j- j:cos AV
cos/ ^ cos/
Remplaçons dans le second membre; ne conservons que les termes de l'ordre du carré de s ou de a. Il vient :
. , a- cos A .y-cos A. sin- A , ■ , . • » » . ,
xsui A 4 ?; — -=-7 -; stçrl. sin* A — .92 sin A. cos A. tg/.
2 2 cos-/ ° °
Posons: x= — ^tg/. sin A — Ma-.
252 GÉOGRM'IIIF. M A T II É M A II QUE
On trouve en définitive :
a = A A = — s sin A. tg / + Ç sin 2A ( 1 + 2 tg- /).
On a comme première approximation :
AA=— AL.sin/.
5°. — Terre ellipsoïdale.
Dans ce qui précède nous supposons la Terre sphérique et de rayon N; rendons-lui son aplatissement.
Remplaçons l'ellipsoïde par la sphère tangente suivant le parallèle : son centre est sur l'axe de révolution de l'ellipsoïde; son rayon est la grctiule normale (§ 140; :
v'I — e-sin-/
a est le grand axe de l'ellipsoïde. Dans l'application des ibrniules, il est nécessaire d'apporter une correction, parce que la même variation de latitude ne correspond pas au même déplacement sur la sphère et sur l'ellipsoïde.
Le rapport des rayons de courbure suivant le méridien et suivant le parallèle est (^ 140) :
p^:]\=l t.^cos'-Z.
A la même distance comptée sur le méridien, correspond une variation \l de latitude pour le rayon de courbure supposé N, et une variation A'L pour le rayon de courbure exact p, telles qu'on ait :
NA/ = c,A'L, A'L = AL(i + e-cos=/ . e-cos-Z s'appelle coefficient sphcroïdiqiie. Il est nul au pôle et maximum à l'équateur. Au voisinage de 45" il vaut :
e = 0,08, e^ = 0,0064, e-cos=/ = 0,0032. Récrivons les formules telles qu'on les trouve dans les traités de Géodésie.
.y est la longueur de l'arc en mètres :
A/ = P.?cosA — Q6--sin- A, AL^R.ysin A : cosZ, AA^ — ALsinZ.
^^^ '/'"/'- P=R(l + e-cos^/), 2Q = PRtg/.sinl".
«sinl' / -t D
P, Q, R, ont été mis en tables en prenant pour a et e les valeurs qui semblent le mieux correspondre aux mesures. a=G 378 25'i mètres, ' e^ = 1 : 293.
178. Formules relatives à la perpendiculaire à la méridienne.
Su[)posons d'abord la Terre sphérique.
Soit PAP' le méridien passant en A.
Par ce point, menons une géodcsique perpendiculaire au méri-
/■:Tiiii.rss/.:.\if:.\T wr.v nicsr..ir ur: ritiANChES 253
(licMi : l'csl un grand cercle qui passe par le pôle 11 «lu luéridion PAl''.
Nous pouvons définir le point M de ce cercle, par la lalitiide ËÂ=/ du point A et par la distance AM au méridien : ce- sont deux coordonnées rectangulaires.
Mais par rapport au point i I et à l^upiateur EH pris pour méridien origine, ËA est la longitude du point M, et AM est sa latitude. On peut donc définir le point .\[ par les coordonnées rectangulaires X et ;j, et applitiuer toutes les formules relatives aux coordonnées géographiques.
En particulier re[)renons les formules du § 177.
Posons :
MN = .v, On trouve
AMN = 6.
7/=7/— scos'^— 2^tg^.sin-.]/,
sin-i
cos?y
— ;^sm2 6.-^^.
JN cos//
Ces formules donnent les variations des coordonnées r et y, quand on connaît l'arc s et son azimut li par rapport à la perpendiculaire à la méridienne.
N est la grande normale ou le rayon de la sphère tangent à l'ellipsoïde, suivant le parallèle qui passe par le point A.
179. Coordonnées géographiques des extrémités de l'arc du méridien.
devenons à la mesure de l'arc de méridienne.
11 a pour origine un des sommets du réseau dont nous déterminons les coordonnées géographiques (latitude et longitude).
Vraisemblablement il ne passera par aucun autre sommet.
Nous savons déterminer sa longueur jusqu'au point d'intersection 1 avec l'un quelconque des côtés du réseau parmi ceux qu'il coupe, bien entendu; pour comparer cette longueur et la longueur calculée à partir des coordonnées géographiques, il faut les coordonnées géographiques du \)0\n\.\ qu'aucun objet matériel ne désigne à la surface terrestre.
Nous tournons la difficulté au moyen des formules précédentes. Nous déterminons les coordonnées géographiques du sommet voisin S; nous en tirons celles du point I, puisque nous savons sur quel
GÉOGIiA l'IllE MA TIIICMA TIQVE
côté ST se trouve, par suite dans quel azimut A, et à quelle distance 5=ST du sommet S.
Par exenijile, l'extrémité méridionale de l'arc DuMUer(|ue-Barcelone se trouve dans la mer, à l'est du mont Jouich. Nous pouvons calculer à (juelle distance de Dunkerque il coupe le parallèle passant par le mont Jouich; ce (jui donne, par le fait même, la latitude et la longilude de l'extrémité méridionale.
