Théorème de Laplace-'Villarceau

1". — Dans le triangle sphérique \ PS, on a :

cotgA.sin A = cotga.cos^ — sin/.cos A.

Amenons le point V en V. Toutes les quantités que contient cette

formule varient, sauf r^

Diflerentions dans cette hypothèse :

f/A.sinV , . , , , • 7 , I »\ 71

: 7 h cotgA.cos A.«A= — (cotgr^slni + cos/.cosA)o£

sm-A ^ ^ \ a <

+ sinZ.sinA.<^/A.

Supposons que s soit égal à un droit. On a la relatioii : O = cosû'.sin^ + sina.cos^.cosA,

GliOGRAPIIIE MA TUE MA TIQUE

ce qui annule la parenthèse cl réduit la formule précédente à :

— — ^rfA = lcotË; A.cos A — sin/.sin A'ir/A, sin-A

ou encore à : (^/A = sin A(cos A.cotg A — sin/.sinZ)(/A.

Puisque ^ = 90", le triangle VPS donne :

cotgA.sin A + cos A. sin/^0.

Substituons dans la formule ci-dessus, il reste :

r/A + sin/.(/A = 0,

qui est la formule de Villarceau.

Précisons le sens de ce théorème.

Plaçons-nous en un lieu A et visons un signal S; déterminons l'azimut A de ce signal par rapport au méridien de A. Il dépend évidemment de l'orientation du méridien, par suite de la direction de la verticale.

11 s'agit de savoir comment une erreur sur cette direction (ou, ce qui revient au même," une dévia/ion lo- C(ïh') influe sur la valeur de l'azimut.

Du point A traçons une sphère dont nous prenons le rayon pour imité. Menons AP parallèle à Taxe du monde, AV suivant la verticale, AS dans la direction du signal. Nous déterminons ainsi le triangle sphérique VPS sur lequel nous avons raisonné.

Si pour une raison quelconque la verticale vient en AV, les variations précédemment calculées se produisent, puisque, le point S visé du point A étant dans l'horizon du point A, l'arc .v = VS est un quart de grand cercle, comme nous l'avons supposé.

Le déplacement de la verticale du lieu A modifie sa latitude l (qui devient l') et sa longitude L (qui devient L').

Comptons la longitude positivement vers l'ouest; nous avons : dh = — d\.

La formule devient :

f/A = sin/.f/L.

Il est remarquable que l'azimut du signal S ne soit pas modifié par une inclinaison de la verticale dans le plan méridien VP; il est aussi remarquable que sa variation ne dépende pas de la direction du signal S, autrement dit, de la valeur de A ou de a.

il". — Voyons à quoi sert le théorème.

Supposons qu'on ait une chaîne de triangles déterminés sur le terrain. En admettant une certaine forme pour l'ellipsoïde terrestre,

ÉrABf.issEME.yr wf.v késeac de triangles -257

on calcule de proche en proche les latitudes et longitudes de tous les sommets du réseau, ainsi que les azimuts sous lesquels, de chaque sommet A, on voit les autres points jouant le rôle du signal S (azimuts respectivement comptés à partir des méridiens des points A). On a donc une série de nombres A, /, L.

Au point A du réseau déterminons directement les coordonnées l' et L', ainsi ([ue l'azimut A' du signal S. Nous ne trouvons pas les nombres précédemment calculés. Les écarts peuvent tenir aux erreurs d'observation et de calcul sur les mesures géodésiques; elles peiwe lit tenir à une déviation locale de la verticale.

Le théorème de ^'illarceau a pour but de préciser la cause du désaccord, de diminuer l'incertitude ci-dessus expliquée.

Si la discordance des résultats géodésiques et astronomiques tient à une déviation locale de la verticale, on doit avoir :

A — A' = sin;.(L— L').

A est ici compté à partir du méridien dirigé vers le nord; si on compte .\ à partir du méridien dirigé vers le sud, le signe de la différence A — A' est changé.

4". — Le théorème de Villarceau est la généralisation d'un théorème de Laplace.

On part d'un point de la surface terrestre suivant le méridien de ce point; on effectue les opérations géodésiques ordinaires. Si la surface est de révolution et si la verticale est toujours normale à la surface, on se maintient dans le méridien géométrique qui est à la fois un méridien astronomique : les longitudes des divers points rencontrés sont les mêmes.

Si le sphéroïde n'est pas de révolution ou si les verticales ne sont pas normales à sa surface, on décrit une courbe sans définition précise, mais dont assurément les points n'ont pas la même longitude.

Pour savoir ce qu'il en est, il suffit de déterminer les longitudes de ces points. Mais c'est une opération coûteuse et difficile. Laplace montre qu'on peut remplacer la mesure d'une différence de longitude par la mesure d'un azimut, ce qui est beaucoup plus facile.

Considérons deux points A et S sur la courbe tracée.

De A mesurons l'azimut de S par rapport au méridien de A.

Si nos. hypothèses sont correctes, il doit être nul, puisque S et A doivent se trouver sur le même méridien astronomique. Nous trouvons à l'azimut une valeur A'; la variation de longitude correspondante est donnée par la formule :

A' = sin/. (L— L').

Mesurer A' revient donc à mesurer L — L'.

Si A' ou L — L' sont tels qu'on ne puisse les attribuer aux erreurs d'observation, on est sur que les hypothèses fondamentales sont insuffisantes.