Travaux des Cassini I et II

i°. — Les Cassini durèrent plus d'un siècle. L'ancêtre Jean-Dominique naquit dans le comté de Nice en 1625. Il vint en France en 1669 et mourut en 1712. Il fit la théorie des Satellites de Jupiter et fournit ainsi un moyen précieux de déterminer les longitudes.

262 GKOGIiAPHIE MATUEMAI/QIE

Son fils Jacques (1677-1756) est celui dont nous allons parler. Son l>elit-fils Cassini (de ïhury) (1714-1784) s'occupa aussi de la mesure de la Terre. De sorte que, quand l'arrière-pelil-lils Jac([ues-Doniinique (1748-1845) vint, le 19 juin 1701, avec les commissaires chargés de créer un système de poids et mesures, présenter ses hommages à Louis XVI : « Comment, dit ce prince éminemment spii'ituel, vous allez recommencer encore la mesure du méridien (|ue votre père et voire aïeul ont déjà faite avant vous! Est-ce que vous croyez faire mieux qu'eux? — Sire, répondit le savant, je ne me llatterais pas de mieux faire si je n'-avais sur eux un grand avantage. Les instruments dont ils se servaient ne donnaient les angles qu'à 15" près; M. le chevalier de Borda, que voici, en a inventé un (le cercle répétiteur) qui me donnera leur mesure à la précision dune seconde : ce sera tout mon mérite. » Il ne l'eut même pas : père de cinq enfants en bas âge, il voulut se conserver à sa progéniture et resta tranquillement à Paris. Cuistre, lécheur de bottes et couard, c'est la définition ordinaire du pontife.

2". — Pour en revenir à la méridienne, tant s'en faut, qu'avec Picard les problèmes les plus indispensables à la Géographie fussent résolus. A la fin du tome VU des anciens mémoires de l'Académie réimprimés en 1729, tQ.me qui contient le mémoire de Picard, se trouve une carte montrant à quel point les données géographiques étaient insuffisantes. Par exemple la longitude de Brest est fausse du cinquième.

D'autre part on trouvait que l'arc mesuré par Picard était trop petit. Bref, à peine le travail de ce dernier était-il fini, qu'on se proposa de mesurer toute la méridienne de Dunkerque à Per|)ignan en déterminairt aussi exacleineiit que possiMc la suite des lieux oii elle passe. Ce n'était pas inutile, puisque en 1G60 le géographe Tassin plaçait sur la méridienne de Paris, Montpellier qui en est à 12;î kilomètres.

Après des vicissitudes nombreuses, le travail commencé en 1('7.'> par Cassini I, repris en 1683, abandonné, puis repris, ne fut termini' par Cassini II qu'en 1718: il tient un volume entier des anciens mémoires de l'Académie.

D'un grand intérêt géographique, il est d'un bien moindre intérêt géodésique. Son principal mérite est d'avoir servi de préface quasi nécessaire aux travaux ultérieurs de Cassini III et de Méchain et Delambre. Jamais ces derniers n'auraient terminé leurs mesures dans les conditions défavorables où ils se trouvaient, si les stations n'avaient pas été reconnues antérieurement par deux fois. Ne soyons pas trop sévères pour ceux qui ouvrent des voies nouvelles!

La conclusion de ce travail, reconnue fausse depuis, est que les degrés de méridienne diminuent de l'équaleur au pale : la Terre serait donc un ellipsoïde de révolution allongé suitr/nt la ligne des pâles.

Cassini II donne la table des arcs d'un degré de méridienne calculés dans cette hypothèse à partir de ses résultats.

D'où

a -.//--A Mil,

(:ii.t.\Di:s riu.iycr/.ATioys historiques 26a

En parlioiilior il trouve :

à réf|iiateiir .')S.()lil toises= 113.4 l'i iiuHres;

au polo .')(). 22'i toises =lO!).58'i niùlres.

De CCS nombres tirons l'aplatissement.

Les rayons de courbures d'une ellipse pour les sommets sont : a- : b et l>' : a, dont le rapport est Ui : i/= 1,03G. a — /j 12 __ 1 0 ~Î7()Ï2~84' Toutes (OS données sont grossièrement erronées. Pour fixer les idées, rappelons que Newton et lluyghens font de la Terre un ellipsoïde aplati suivant la ligne des pôles et donnent pour valeur de l'aplatissement :

=^;^^^ (Newton), =.-77^7; (Huyo-hens).

:'i". — Là-dessus s'éleva la plus belle polémi((ue du monde, à savoir si la Terre était aplatie ou allongée suivant la ligne des pôles. Les défenseurs de Cassini s'appuyaient sur les vieilles mesures de Snellius et du Père Iiiccioli (pii, comparées à celle de Picard, allongent la Terre suivant l'axe de rotation. Elles étaient cependant évidemment erronées. Snellius utilise une base et des triangles trop petits; son arc ne s'étend que sur une fraction de degré. Quant au P. Riccioli, sa méthode est intéressante, malheureusement rendue vaine par les réfractions atmosphériques.

Soient deux stations A et B à peu prés sur la même méridienne et dont les verticales sont« elb. De chacune des stations visons l'autre, ilesurons les angles :< et ^ que fait la ligne ABavec les verticales a et b. Si ces verticales étaient parallèles, on ajjrait :

Mais en raison de la variation), de la latitude quand on passe de A à B, les verticales ne sont pas parallèles; on a :

a+ 3 + X=lS0".

Fig. 153.

D'où la mesure de >, sans qu'il soit nécessaire de regarder le ciel.

Malheureusement la ligne de visée AB est quasi horizontale; la réfraction atmosphérique intervient beaucoup. Elle augmente les angles u et ,'i, par suite diminue l'angle >,, d'où un quotient trop fort de la longueur AB mesurée, par la difl'érence apparente >. des Latitudes.

r.ÉOGHA PlIIE MA TU KM A TIQ UE

184. Définition a priori de la pesanteur. Une opinion singulière, il est vrai rectiliée presque aussitôt qu'énoncée, vint encore compliquer le débat.

1°. — La latitude calculée dépend évidemment de la définition admise pour la verticale, de l'idée posée a priori de ce que doit être la direction delà pesanteur (résultante des attractions et de la force centrifuge). Pour Newton comme pour Clairaut, la pesanteur est normale à la surftice terrestre. En 1720, de Mairan dit : « Je suis donc persuadé que la perpendicularité du poids à l'égard de la surface delà Terre, et vraisemblablement à l'égard de la surface de toute autre Planète, est une des lois les plus invariables de la nature. »

Qu'il en soit ainsi pour la surface des mers, ne peut faire de doute en raison de la définition des fluides. Qu'il faille conclure de même pour la surface solide, résulte de ce qu'en définitive la plus grande partie de la surface terrestre est couverte d'eau.

Malheureusement tout cela ressemble fort à un cercle vicieux. Imaginons une Terre qui soit un ellipsoïde de révolution de surface parfaitement régulière, mais dans lequel les masses soient très inégalement réparties. Mettons dessus une couche d'eau. L'eau se disposera en équilibre de manière que la pesanteur soit normale à sa surface; mais cette surface ne sera pas un ellipsoïde de révolution. Dans ces conditions, qu'appellerons-nous surface de la Terre : la surface du sol solide ou la surface de l'eau? Dans le premier cas, nous avons un ellipsoïde à la surface duquel la pesanteur n'est pas normale; dans le second, la pesanteur est normale à la surface qui n'est plus un ellipsoïde.

Pour faire disparaître le cercle vicieux, il faut supposer qu'originairement la Terre était fluide en son entier. Auquel cas lors du refroidissement et de la solidification de la croûte superficielle, on comprend que la pesanteur soit restée normale à la surface.

5°. — Quoi qu'il en soit, popéie I I sons que la pesanteur est nor

maie à la surface du corps qui, par hypothèse, est de révolution.

La latitude Z est l'angle de la normale et de l'équateur. Soit pie rajonde courbure delà méridienne, soit ds l'arc de méridienne. On a: ^dl=:cls.

D"où ce théorème énoncé par de Mairan en 1720: Quelle que soit la méridienne, si les degrés vont en augmentant de l'équateur au pôle, il faut que la courbure aille en diminuant, ou, si l'on veut, que les rayons de courbure aillent en augmentant. Autrement dit, pour un AZ cons-

Fig. 154.

CltANDF.S THIAyaUL.lTIOSS HISTORIQUES 205

tant, f el As- sont proporlionncls. Conséquence : si la Terre est un ellipsoïde aplati suivant l'axe de révolution, les degrés croissent de Téquateur au pôle (lig. IS'i).

,';». — C'est alors que Fontcnclle et Cassini II eurent l'idée de faire |)asser la pesanteur par le contre de la Terre. Comme le montre la (igure 155, la conclusion se trouvait renversée. Si la pesanteur, loin d'être normale à la surface, passe par le centre de la Terre, et si la Terre est un ellipsoïde aplati suivant son axe, les degrés décroissent de l'équaleur au pôle.

Cette hypothèse en soi n'est pas absurde; elle n'est qu'invraisemblable. Elle fut presque immédiatement abantlonnée parses auteurs, (|ui, je le crains, ne comprenaient pas exactementle sens de ce qu'ils proposaient.

Tout concordait du reste à faire de la Terre un ellipsoïde allongé. En 1733 et 17;î4 Cassini II déterminait la perpendiculaire à la méridienne de Paris et arrivait à la même conclusion que son père.

Les mémoires qui relatent son voyage méritent d'être analysés.

185. Figure de la Terre déduite de la comparaison d'un arc de méridien et d'un arc de parallèle.

/". — Au voisinage du point A de latitude /, on mesure un arc de la méridienne. On mesure d'autre part un arc du parallèle (indirectement, nous verrons tout à l'heure pourquoi). De la comparaison de ces arcs, déduire la forme de la Terre et son aplatissement.

La figure 156 représente les méridiennes de la sphère, et des ellipsoïdes aplati et allongé suivant la ligne des pôles. Par hypothèse, pour les trois surfaces, le point A a la même latitude (angle de la normale avec l'équaleur). L'arc d'un degré de méridienne est le même; c'est dire que le rayon de courbure AC est le même pour les trois courbes. Il est évident que le parallèle de l'ellipsoïde allongé est moindre, et le parallèle de l'ellipsoïde aplati est plus grand que celui de la sphère.

Au s; l'i2 nous avons trouvé pour longueur de l'arc de méridierr compris entre deux points de latitude /„ et l^ :

s^ = a\ i i — r, ) t>i + — sin7».cos2/ 1,

L'C6 G Ë o a R A r II if: m a t h é ma ri q u f.

Pour longueur de Tare de paralltde à la latitude moyenne /, nous avons : i\ i=:Lc/cos/(l + asin-/).

Dans le rapport .s, ; s,,, le rayon é(|uatorial a disparaît. L'aplatissement est déterminé par la formule :

2,v,LcosZ(l + asin'-^):=5,[(2 — %]m + 3asiu m. 003 2/1.

186. Mesure d'un arc de perpendiculaire (Cassinill, 1733 et 1735).

i". — Les opérations géodésiques fournissent immédiatement, non pas un parallèle, mais une perpendicalaire à la. méridienne. C'est en 173,'^ que Cassini II mesura la première, qui va de Paris à Granville; à cette occasion, Clairaut donna la Ûiéov'ie àes géodésiques, qu'il appelle les lignes de M. Cassini (S 151).

Le mémoire de Cassini est curieux comme montrantja Géodésie cherchant ses méthodes régulières.

Je signalerai un exemple cocasse, mais ingénieux.

Un des triangles devait avoir pour sommet Exnies, Argentan à l'ouest et Sées au sud-ouest. Mais si l'on voit Argentan de Sées et d'Exmes, on ne voit pas Sées d'Exmes : ces deux villes sont séparées par la montagne de Bonnevent, alors boisée (collines du Perche). Cassini envoie de ses aides à Exmes et à Sées. « Pour moi, j'allai sur cette montagne dans l'endroit que je jugeai à peu près dans les directions (les clochers de Sées et d'Exmes [point A de la figure schématique]. Je fis monter quelques personnes sur les arbres les plus élevés; je fis élever au-dessus de l'un d'eux un signal qui "consistait en un drapeau blanc. J'avais prié ces messieurs qui étaient à Exmes et à Sées de m'envoycr par un courrier la grandeur des angles que ce signal faisait avec Argentan [angle y. et ,'i de la figure]. Ayant joint ces deux angles avec celui qui avait été observé d'Argentan entre Sées et Exmes [angle y], je trouvai que leur somme excédait un peu 180". Ce qui me fit conclure que le signal n'était pas précisément dans la direction de ces clochers. Je le fis donc abaisser et replacer au-dessus d'un autre arbre plus avant [point 13 de la

cn.t.\DEs r/î/.(;Vf;f/,.( /70.VS- m sroniQvr.s 267

figure], et je rci;iis peu de tein|)S après deux autres courriers par lesquels on me marquait la (|uanlilé des angles <|ui avaient été observés par rapport à ce nouveau signal et cpii, joints au troisième, approchaient encore plus près de IW'. Par ce moyen je conclus les angles que les clochers de Séeset d'Exmesauraientdù faire à l'égard d'Argentan... » Ce qui est facile grâce à une interpolation linéaire. Soit en effet r? et Aies diminutions des angles a et '^ de la première à la seconde observation; elles sont pro|)ortionnelles au déplacement AB. Il faut donc retrancher des angles y. cA '^ primitivement observés des quantités l>a et l;0 proportionnelles à a et h, et telles qu'on

''*'* • V 4- =< + 3 — /'• rt + 6) = 180".

Les valeurs cherchées sont z — l>n et [i — kb.

Un autre point de cette géodésie dans l'enfance qui est curieux jiour nous, est le calcul des triangles au fur et à mesure qu'on les obtenait, de sorte que celte perpeiuliciilaire h In méridienne prend une réalité singu- >ye;,/a« lière. A chaque page, Gassini dit : « Nous nous écartâmes de la perpendiculaire. Dans celte ville nous rejoignîmes noire perpendiculaire... » Bienentendu les calculs étaient faits comme sur un plan; on réduisait à l'horizon au petit bonheur.

Cassini trouve que la perpendiculaire à la méridienne de Paris qui passe par l'Observatoire de Paris, se trouve à 3.904 toises au-dessous de Granville. Cette ville est à

très peu près sur le parallèle de Paris; Cassini donne à l'Observatoire la latitude 48° 50' 10", à Granville la latitude 48° 50' 9".

D'autre part il évalue la longueur de la perpendiculaire comprise entre Granville et la méridienne de Pafis (distance de Granville à

la méridienne) à : 148-515 toises.

Il conclut de là que la perpendiculaire et le parallèle devaient être distants de 3.904 ^ 1=^63.920 toises.

Or le calcul pour la Terre sphérique lui donne 3.851 toises ; d'où une dillerence de 69 taises. Concordance qui lui paraît merveilleuse.

Efl'ectivement en admettant pour Granville la longitude 3° 57', on trouve, 'sur la Terre sphérique, que la distance du parallèle à la perpendiculaire est de 7'"', 430 mètres, ce qui est à peu près le résultat de Cassini (la toise vaut 1",949).

Pour intéressant que soit ce travail, il aboutit à une conclusion erronée. Partant d'une estimation par excès de la longitude de Saint-Malo dont il évalue la distance à la méridienne de Paris de 165.015 toises, Cassini II trouve une longueur trop petite pour le degré de longitude sur le parallèle de Paris : d'où la conclusion fausse que la Terre est un ellipsoïde allongé.

2°. — En 1735, Cassini prolonge la perpendiculaire à la méridienne du côté de Strasbourg. Coninie détail intéressant, je trouve l'emploi de feux pour signaux nocturnes et l'utilisation d'un triangle dont un côté Donon-Toul a 100 kilomètres (51.300 toises) de long. La perpendiculaire passe au nord de Strasbourg à 14.285 mètres (7.32G t.).

Ici encore, Cassini joue de malchance. Pour distance à la méridienne de Paris il trouve 205.100 toises. INIais il évalue la longitude de Strasbourg à 5" 32' 30", alors qu'elle est 5" 25' 45". L'erreur est de 23 millièmes par excès. Il évalue donc le degré de parallèle notablement par défaut et conclut que la Terre est un ellipsoïde allongé vers les pôles.

Il semblait donc que le débat devait se clore par la défaite des Newtoniens. Mais les savants sont tenaces dans la vérité comme dans l'erreur, parce qu'ils ne voient ordinairement dans les questions scientifiques que le moyen de tomber un concurrent.

C'est une chance si le concurrent est dans le faux. Heureusement le calcul des probabilités montre que cela arrive une fois sur deux.

Les mémoires de Cassini ne firent donc qu'exciter ses rivaux; la polémique continua.