Retour sur le problème classique de la Géodésie

Revenons sur la position du problème classique (jiie la Géodésie s'efforce de résoudre.

i". — Nous avons déjà dit (^ 166) qu'e» principe la détermination géométrique de la figure de la Terre n'a rien de commun avec la mesure de la latitude et de la longitude ; elle peut se passer de la verticale en tant que cette droite est supposée dans une direction a priori déterminée avec la surlace terrestre. Certes on peut l'utiliser, mais simplement comme ligne de référence de direction invariable.

Il est d'abord évident qu'un triangle géodésique est parfaitement déterminé indépendamment de toute notion de verticale. Il suffit de le mesurer tel qu'il est, ainsi que faisaient Delambre et Méchain, au moyen du cercle répétiteur de Borda (S 182). Il est encore évident que si l'on détermine les angles que font deux à deux les plans des triangles géodésiques, il est possible de construire avec tous ces triangles un polyèdre qui donne la figure de la Terre sans qu'interi'ieiine la moindre hi/pothèse. Or il est facile de calculer ces angles en mesurant les angles que font entre eux et avec le côté

commun BC, les côtés AB, BD, et AC, CD, de deux triangles adjacents.

Malheureusement la moindre erreur sur les angles deux à deux des plans des triangles (qui sont très petits relativementà la surface du globe), entraîne peu à peu des modifications telles dans la forme du polyèdre, qu'elle serait déterminée sans aucune précision.

f?". — Ce mode de calcul direct étant pratiquement inadmissible, force est bien de procéder autrement.

Voyons dans quelles hypothèses nous pourrions nous passer de toute supposition arbitraire sur la direction de la verticale. .

Fig. 16i.

n II A y n i: s i ii/.i.\Gvr.ATiox.'; iiis roniQi/cs 281

Admettons ([iic la surface sur laf[uolIc se trouvent les sonuncts de tous nos triangles, soit représentée par l'équation connue

Mesurons tous ces triangles et applir|uon8-les sur la surface en leur maintenant leurs côtés communs. Nous pourrons vérifier s'ils s'accolent exactement sur les plans tangents sans r/u'i/ en rcsulle de vide ou double emploi. C'est la même opération que précédemment, à la difTérence qu'au lieu de chercher la forme de la surface, nous vérifions la possibilité d'une forme posée a priori ; ce qui présente moins d'aléa.

Mais cela même est impossible en toute rigueur, parce que les sommets de nos triangles ne sont nsstirciueiit pas sur une surface d'équation simple /(.r, //, ;) = 0 : ils se trouvent au-dessus ou au-dessous. Avant de les utiliser, nous devons les ramener sur la surface, les réduire à l'horizon; et voici la verticale et l'incertitude qui reparaissent dans nos raisonnements. De toute nécessité nous sommes obligés d'admettre que la verticale en chaque point a une relation avec la surface /'(.r, >/, z]=^0, relation qui, dans l'ignorance où nous sommes, ne peut être que la normalité.

5°. — Puisque nous admettons une équation /\.r, y, z) = 0 (peu importe laquelle) pour la surface terrestre, puisque nous posons que la verticale est normale à cette surface, la réduction des triangles à l'horizon (projection sur le plan tangent) devient possible; nous pouvons appliquer nos triangles sur la surface, déterminer les coordonnées des sommets, enfin calculer leurs coordonnées astronomiques (longitude et latitude). Comme la détermination expérimentale directe de ces coordonnées ne présente ni ambiguïté ni difficulté pratique, nous avons une vérification possible de nos hypothèses.

Nous ij trouvons la preuve que tout le système est incohérent.

Qu'il s'agisse des latitudes, des longitudes ou des azimuts, la comparaison des valeurs calculées de proche en proche et des valeurs observées décèle des différences allant jusqu'il 40", c'est-à-dire hors de proportion avec les erreurs des mesures.

Certes la Terre s'approche d'être un ellipsoïde de révolution aplati suivant la ligne des pôles; mais les résultats ne concordent pas avec les Jiypothèses d'un ellipsoïde parfaitement régulier et de constitution telle que la verticale soit normale à sa surface en tous ses points.

Si les deux hypothèses étaient simultanément réalisées, nous devrions trouver, à la précision des mesures, un rayon équatorial et un aplatissement toujours le même, où que nous fassions nos opérations. Ce qui n'est pas. Il est donc incontestable : ou que la surface terrestre n'est pas exactement un ellipsoïde de révolution, ou que la verticale ne lui est pas normale ; à supposer que les deux hypothèses ne soient pas toutes deux inexactes.

je". — Au xviii" siècle, devant la discordance des résultats, on s'était mis à chercher, à partir du l'ésultat des mesures, quelle

182 GKOCRAriUE MATIIICMATIQVE

(levait èlre la rorme de la TcMTe supposée de révolulion, mais eu abandonna m l'cUipsoule. On représentait par une foi'jnule euipi- '•ique : (b\=f{l).dl,

la longueur d\ de l'arc en fonction de la variation dl de la laliludo. Le problème a pour énoncé général : trouver une courbe ilont on tienne le rayon de courbure /'(/), en fonction d^ l'angle que fait sa normale avec une droite de référence.

Ainsi Bouguer propose la loi :

k = a, + hBh-i'I. (1)

En fait, aucune formule telle que il) ne représente les expériences à l'approximation des mesures : la Terre es/ iri-égidière ou de forme ou de constitulion.

194. L'hypothèse que la surface terrestre est un ellipsoïde de révolution, n'a aucune probabilité théorique.

1'-. — Le résultat auquel nous parvenons, at-il lieu de nous étonner? Assurément non. Les grands mécaniciens de la lin du XMii" siècle ne s'abusent pas sur l'existence de l'ellipsoïde. Laplaçe \\Y croit pas. « Si l'hypothèse d'une (igure elliptique est dans la nature, dit-il, l'aplatissement doit satisfaire aux mesures des degrés. Mais il y suppose au contraire des erreurs invraisemblables. La dillicult'é d'assujettir toutes les mesures à une même figure elliptique prouve que la figure de la Terre est beaucoup plus composée qu'on ne l'avait crti d'abord. Ce qui ne paraîtra pas étonnant si l'on considère l'irrégularité de la profondeur des mers, l'élévation des continents et des îles au-dessus de leur niveau, la hauteur des montagnes et l'inégale densité des eaux et des substances diverses qui sont à la surface de cette planète. »

La fluidité probable que la Terre pouvait avoir à l'origine, ne prouve absolument rien. Il est absurde de supposer que la Terre s'est refroidie avec une simplicité théorique; on voit d'ici à quelles fluctuations pouvaient être exposées les densités des couches qui se déposaient successivement. Que de ce chaos ait résulté en gros une forme ellipsoïdale, passe encore; mais qu'elle ait abouti à un ellipsoïde géométriquement défini, est invraisemblable. Or, les mesures sont essentiellement locales, entachées par conséquent de toutes les irrégularités de la formation initiale.

2". — On dira que les matériaux intérieurs de la Terre, étant encore fluides, ont le temps nécessaire pour se disposer suivant des lois théoriques. Mais'qu'importe pour la forme de la croûte terrestre qui fait seule l'objet de nos mesures?

Le fait qu'il est plus facile de représenter par une formule simple les expériences sur le pendule que les résultats des mesures superficielles, corrobore ce que nous disons. Il est probal)le que, dans son ensemble, la Terre est plus régulière que sa surface. Comme les attractions dépendent non seulement de la croûte, mais encore des

aruyoEs riii.i.\Gi'i.Ario.\s iiistorkji ns 283

parties inlérieures, il n'est pas étonnant (|iie les inéj^uiarités soient moins fortes pour elles. Rien ne s"op|)Ose tlonc à ce fjue nous considérions la Terre comme formée d'un noyau lluitle ou scmi-duide, d'autant plus régulier qu'on s'approche du centre, mais liniilè par une croule irrri^ii/ièri.'. La régularité théorique du noyau liquide consiste en une superposition des couches suivant les densités décroissantes vers l'extérieur, et telles c|u'elles soient séparémenten écpiilihrc quand on impose à l'ensemble une vitesse de rotation commune § 22(1).

Mais, encore une fois, c'est sur la croûte que nous opérons!

.■,'". — Pouvons-nous espérer que des mesures plus précises modifieront ces conclusions et feront apparaître l'ellipsoïde rêvé par nos pères? L'Annuaire du Bureau des longitudes caresse cet espoir : « En combinant, dit-il, les données fournies par les vastes triangulations [effectuées" et ce/les qui siiicroii/ dans l'accnir...,

... on aura les dimensions de l'ellipsoïde terrestre avec une prc'cision de plus en plus grande. » C'est une sottise, et une sottise impardonnable, puisque le Hureaii des longiti'.des ajoute : « II faut dire d'ailleurs que les valeurs de l'aplatissement obtenues parles diverses combinaisons des mesures, sont parfois assez discordantes. » La seconde phrase contredit la prejiiière.

Les discordances ne disparaîtront pas, puisque l'expérience montre qu'elles ne diminuent pas à proportion que les mesures deviennent plus précises. La vérité est (\ue jamais les mesures géodésiques, U'Ilcs qu'on les effectue, ne donneront VtUipsoide terrestre, ou bien parce que cet ellipsoïde n'existe pas, ou bien parce que la. verticale ne lui est pas normale. S'il nous -plaît de conserver un ellipsoïde, nous serons toujours réduits à prendre un ellipsoïde nioi/en. ne représentant les observations qu'eu mo3"enne.

\'oici les dimensions des ellipsoïdes classiques en kilomètres; .• Ellipsoïde de Bessel il841) :

Ellipsoïde de Clarke (18801 :

Ellipsoïde d'Helmert 1901) :

'( '. — L'ellipsoïde d'IIelmert^n'est pas plus^sùrque celui de Claïke ou celui de Bessel : c'est ne rien saisir de la nature même du problème, que de prendre au sérieux les soi-disant discussions de mesures, puisque les mesures ne concordent pas aux erreurs près admissibles pour les e.ipcriences.

De quel droit négliger celle-ci plutôt que celle-là?

Mais, dira-t-on, sans s'illusionner sur l'existence d'un ellipsoïde, il est permis de chercher un ellipsoïde nioi/en cadrant à peu près avec toutes les mesures, c'est-à-dire ne s'écartant de toutes que le moins possible en moyenne.

Soit. !Mais quelle application ferons-nous de cet ellipsoïde? à quoi sert-il quand il s'agit de représenter un pays en particulier? Nous calculons avec l'aplatissement moyen : quel est le sens et l'intérêt de nos calculs en un lieu donné ?

On insiste sous prétexte qu'il est utile de savoir si cet ellipsoïde moyen déterminé par les mesures géodésiques est compatible avec les conclusions tirées des phénomènes astronomiques sur la forme de la Terre.

La réponse est facile : il reste tant à'arbilraires dans les formules que nous ne sommes pas inquiets sur la possibilité d'une contradiction. La précession des équinoxes et la nutation, en particulier, exigent purement et simplement un certain rapport entre les axes principaux d'inertie du spliéro'ide terrestre. Les irrégularités locales qui constituent toute la Géodésie, sont indifférentes à VAstrononiii: de position comme à la Mécanique céleste.