Courbes d'égale pente
1". — Une courbe de pente constante ahcd est telle que ses arcs compris entre les courbes de niveau successives ont une longueur invariable : d'où la manière de les tracer quand on connaît le faisceau des lignes de niveau. A partir du point a imposé comme origine, avec une ouverture de compas invariable, on trace les arcs
éçcaux : ~T T~ ~^
o ab = bc=^ca=:...
On peut toujours trouver une ligne ayant une pente constante aussi petite qu'on veut (pourvu qu'il n'y ait pas de discontinuités, de falaises verticales, ...); on peut toujours en effet se déplacer presque suivant les lignes de niveau. On ne peut pas trouver une ligne ayant une pente constante aussi grande qu'on le désire : l'ouverture de compas à partir du point A doit être supérieure à l'arc AP qui correspond à la ligne de plus grande pente.
2°. — Voici la solution analytique du problème des lignes de pente constante.
Soit ^=/ [x, y), l'équation de la surface, quand l'axe des z est supposé vertical.
La condition de pente yj invariable est :
dz-=p- [dx'- + dy-), ; ^d.v + -^(ll/) =P' '^•'•' + ^'i/';-
D'où une équation différentielle de la forme :
dy.d.r^i ,>, y,p).
Par un point de la surface passent généralement deux lignes de pente déterminée p. Entre deux points A et B existe généralement une ligne directe de pente constante bien déterminée, plus une infinité de lignes dont les pentes constantes varient de l'une à l'autre d'une quantité finie.
Supposons que la surface soit un cône de révolution d'axe vertical. Prenons deux points A et B sur une génératrice. Nous pouvons aller de A à B par cette génératrice, qui est à la fois de pente constante et de plus grande pente. Mais nous pouvons aussi y aller en faisant 1, 2, 3, ... tours autour du cône.
A la ii'mite, le cône devient un cylindre : les lignes de pente constante deviennent des hélices.
COSSTRVCTIOS DES CAUTES 299
.r. LvciCTS.
Va\ pralicjue, il est génôralement impossil)le d'alloi' du point A au |)oiiit B en suivant une ligne de pente constante uiii(inc.
On tourne la diffioullé au moyen de hiccls.
Soit/; la pente imposée. On part du point A suivant l'une des lignes L,, L|, de pente /; qui passent par A.
Parvenu au point G, ou (|uitle la ligne L, pour prendre l'autre
ligne L, de pente y^ (|ui passe par C: elle l'ait avec la première un
angle lini.
Parvenu en D, on quitte la ligrte h, pour prendre l'autre ligne L,
de pente /j qui passe par D. Et ainsi de suite.
Non seulement le problème d'aller du point A au point B par une
ligne brisée de pente p arbitraire, devient généralement possible,
mais il est in4éterminé.
Tous les alpinistes savent gravir une montagne sous une pente
donnée en choisissant une infinité d'itinéraires différents i lacets
plus ou moins nombreux , plus ou moins développés). Quand on construit un sentier, une rigole, une route, un chemin de fer, on choisit la solution la plus avantageuse d'après des conditions supplémentaires imposées.
