Gravité. Loi de Newton

^'oil■i renonce de la loi de Newton.

LIne niasse punclilbrnie »i attire une autre masse /»' suivant la droite iii/ii' qui les joint (la force est dite centrale), proportionnellement au produit iiu/i' et en raison inverse du carré de la distance.

Posons

On a :

m et ni' sont exprimées en grammes (masse), /■ en centimètres, F en dynes. Le paramètre G est la constanle de la gravilation que nous apprendrons à déterminer. Il nous arrivera de le supprimer dans les formules; le lecteur le rétablira par la pensée.

C'est une partie fondamentale de la loi de la gravitation, que les masses qui s'y trouvent sont précisément celles qui entrent dans les équations de la Dynamique : l'attraction produite, dans des conditions déterminées, par une certaine quantité de matière, est en raison inverse de l'accélération qu'elle prend sous l'action d'une force donnée. Par conséquent, si nous supposons connue la Dynamique et ses lois, la loi de la gravitation ne définit pas les masses; elle énonce une propriété de ces niasses.

Pour la démonstration de la proposition fondamentale : les niasses sont proportionnelh's aux poids, je renvoie à mon Cours de Dijnaniiquc.

2". — L' intensité du citanip eslun vecteur défini en grandeur et direction pour chaque [)oint P de l'espace, tel que son produit par la masse m placée en P donne la force qui s'exerce sur cette masse. L'intensité du champ de la gravité est donc de la nature d'une accélération.

Ce n'est pas une force; mais le lecteur une fois prévenu, pour raccourcir le langage, nous mettrons force à la place à'i?itensité du champ.

Fig. 173.

30i GEOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

Cherchons les composantes du champ créé au point I' de coordonnées .)■, /y, ;, par la masse ///, située au point M, de coordonnées

•»■,' Vr -".•

Le champ est dirigé suivant PM, et a pour grandeur /n/.i-. Ses composantes sont en grandeur et en signe :

Ûz

m , Ûr

Les composantes X, Y, Z sont positives lorsqu'elles sont dirigées

vers les .r, y, z, croissants.

Posons : V=r — ' .

Il est focile de voir qu'on a :

'^~D.r' Oy' ^—dz-

En effet: ,.J = (.r.r.)^ + (^- j/J^ + (c— ^j^

ilv ~ /■, '

de même pour Y et pour Z.

Par définition Y est le potentiel de la masse /»,.

.3°. — Quand il existe des masses punctiformes en nombre fini (ou par généralisation des masses distribuées d'une manière continue), nous admettons que leurs actions sont indépendantes de l'existence les unes des autres.

Le potentiel, qui est une quantité scalaire, est donc la somme des potentiels resj)ectivement dus à chacune des masses :

suivant les cas. Voici ce que signifient ces deux expressions (lig. 173). Pour obtenir en un point P le potentiel dû à des masses punctiformes 7»,, /»^, ..., situées en des points M,, M,, ..., nous déterminons les distances M,P = /-,, ALP = /-,, ...; nous faisons la somme :

Quand les masses sont continues, nous définissons d'abord une densité de volume p : c'est le coefficient par lequel il faut multiplier l'élément de volume dv pour obtenir l'élément de masse. Puis nous procédons comme plus haut : la somme est remplacée par une intégrale étendue à tous les volumes pour lesquels la densité n'est pas nulle.

''". — On vérifie immédiatement qu'en dehors des masses agis-

LOI DIC M:iirO.\ KT SES COSSEQUF.yCES 30:i

santés, le poliMiliel siilisfait à l'équalion (dite de Laplace) : Î)-V 0-V i>-V

t'.i- t'//- l':.- U suflil de iiionlrer <|iie la foiidioii I : /■ y salislail; il on rësiiltora «lue la somme d'aulant de r|uanlili's 1 : /■ (|ii'(jii voudra y satisfait aussi.

Soit .r, y, z, les coordonnées du point 1'; ~t /,>//, w,, les coordonnées du point M,. Donnons au point P un petit déplacement PP' et déterminons les dérivées partielles de /•, [)ar rapport aux coordonnées .r, //, 3, tlu point P.

On a : /-J^C.r-.r,)^ + (i/-^,)^ + (:; — ^,)N

ri(lr, = {x — .r,) dx + [y — y^, dy + (3 — z) dz; Or, .r — .«-,

Ox \r.J ~ n O.t

'^'■i ll — lh

Or.

dy '•, 1 \}x,

Oz X — .»

Dx'Kr.J— Dx\ r] )~ rr r; Ox'

di- ..r, ' r;

ri On obtient deux expressions symétriques en y et en z. Additionnant, il vient :

ûlATJ^Ô^'-KrJ^Oz^^

Cette équation exprime (voir mon Cours sur les Mcainisiues) que h' flux du vecteur intensité du champ est conscrvatif en dehors des m fisses agissa ntes.

'/». — Il résulte de la proportionnalité des attractions et des masses, quV/ supposer constante l'intensité du cltainp, le point d'application des forces gravitiques est le centre d'inertie ; d'oii le nom de centre de i^ravité qu'on, lui donne parfois. Mais c'est un cas très exceptionnel. Certes on peut toujours réduire à une force et à un couple le système des forces que la gravité exerce sur un corps; on peut même toujours faire passer la force résultante par le centre d'inertie, mais le couple n'est généralement pas nul. C'est pour éviter des idées fausses qu'il est bon de supprimer du langage l'expression centre de grcwité; il n'a généralement pas de sens.

Inversement, les forces gravitiques qu'un corps exerce sur un autre corps, ne peuvent généralement pas être ramenées à une force unique émanant d'un centre ; sous ce rapport, pas plus que sous le premier, l'expression centre de gravité ne se justifie. Dans le seul cas d'une sphère constituée par des couches concentriques homogènes, tout se passe comme si la matière était condensée au centre d'inertie.

Vu la (lislaiico des pianotes au Soleil, on peut les réduire à des points. Ce n'est déjà plus permis pour les planètes et leurs satellites : la forme aplatie de la Terre influe sur le mouvement de la Lune. Ce l'est encore moins quand, dans les expériences analogues à celles de Cavendish [% 222), on calcule l'action de deux corps très voisins.