Équation de Poisson
i". — II s'agit de savoir ce qui ari'ive près des masses agissantes. Tout d'al)ord écartons une diffienUé qui ne manque pas d'arrêter les débutants.
La force est en raison inverse thi carré des dislances; il semble que tout près des masses agissantes elle devienne infinie. Il n'en est rien, /;«/re qu'on ne se rapproche infiniment près que d'une masse infini/lien/ petite. La force a pour expression : pr/c:/-. Assurément rtend ra|iidement vers 0, mais (h s'annule encore j)Ius rapidement. Pour étudier ce qui se passe [)rès des masses agissantes, la méthode la plus simple est fondée sur la considération des angles solides (fig. 174).
Un cône quelconque de sommet O délimite sur la splière S, de centre O et de rayon 1 une aire s qui par définition mesure l'angle solide du cône. Il peut varier de 0 à 4:: ; c'est un nombre, autrement dit ses dimensions sont nulles.
Un cône de sommet O et d'angle solide infiniment petit r/(.) découpe sur la surface S quelconque un élément d'aire (/S.
Soit /■ la distance 0.\; soit a l'angle de la direction moyenne AN' des génératrices du cône avec la normale AN à la surface.
On a évidemment :
, . ilScos y.
(Im^ ^ .
Ceci posé, montrons que le flux de force envoyé par une masse punctiforme m à travers une surface qu'elle voit sous un angle solide infiniment petit r/w, est : nidou
En effet, soitf/S l'élément à travers lequel nous évaluons le flux.
La force est : m:r-; elle est dirigée suivant AN'.
Le flux est : j^^
— dScos-y. = mih.). /■-
2". COROLLAIHES.
a) Le flux étant indépendant de la j)osilion de l'élément dS, on peut parler sans ambiguïté du flux envoyé dans un cône diô : le flux est le même à travers les éléments que découpe le cône sur des surfaces quelconques.
LOI DE \E)irO.\ ET SES COySÉQUEyCES 305
Cela revient ii dire que le flux est conscrvatif iiors des masses agissantes, ce que nous savons di-jh.
b) Les (lux s'additionnant aigrljriquement (ici arilhnic'lii|uoment), la proposition s'applique à un cône d'angle fini quelconque (.,.
c) Nous pouvons parler sans anihiguïté du flux à travers un contour fermé; c'est le flux envoyé dans le cône qui a pour sommet le point agissant et qui s'appuie sur le contour.
d) A travers une surface fermée quelconque, le flux est :
/»—</(.) = 4r/«, si le point agissant est dans le volume limité par la surface.
<•) Si le point agissant est hors de la surface fermée, le flux total est nul. En effet, considérons le contour apparent de la surface vue du point agissant. Il la sépare en deux portions S, et S,, à travers lesijuelles le (lux est le même &n valeur absolue. Mais dans l'un des cas il entre dans la surface, dans l'autre cas il sort de la surface : la somme est nulle. TS'ous pouvons aflecter d'un signe la face externe et du signe contraire la face interne; la proposition s'énonce en disant que la somme algébrique dos flux est nulle.
/■) La surface fermée est traversée soit deux fois, soit un nombre pair de fois, par une droite émanant du point agissant. Les propositions il et e s'appliquent, quelles que soient les complications de la surface, en considérant comme positifs les flux qui sortent et négatifs les flux qui entrent.
g; S'il existe un nombre quelconque de niasses à l'intérieur de la surface fermée, le flux total est i--/)i.
3". — Exprimons analytiquement les résultats précédents.
Ecrivons que le flux à travers l'élément di' est égal à i- fois la somme des niasses contenues dans l'élément :
— \\di'=zi-fdi\ AV + 4rp=0; p est la densité de volume.
Telle estl'crjiiation de Poisson qui régit les variations du potentiel au voisinage des niasses agissantes.
En définitive, l'intensité du champ de la gravité en un point quelconque P de l'espace dépend d'un potentiel V défini par les équations équivalentes :
v=gI^'. v=g///£^.
Les composantes du champ sont :
ii\ 0\ DY
dv Jij Oz
Pour être un potentiel newtonien, la fonction Y ne peut être
choisie arbitrairement. Ses dérivées secondes satisfont à l'équation :
:^-V d-X 0-\ AV + 4.Gp = 0, ^^ + ^ + -^ + 4.Gp = 0; (1)
p est la densité au point considéré.
306 GÉOGRAPHIE M ATII É M AT! QV E
Dans un espace où la densité est négligeable, on a la condition (dite de Laplace) : AV = 0. (1)
Le (lux de force est alors conservatif.
Les équations .;!) sont ce qu'on appelle les i'</i((f/io/is indc finies. par opposition aux éijita/ions de passage ou coiidilions à la sur/ace que nous étudions ci-dessous.
