Force axifuge. Pesanteur, potentiel de la pesanteur

i". — La pesanteur est la résultante de la gravité et de la force centrifuge (plus exactement axifuge .

Prenons trois axes de coordonnées rectangulaires; posons que la rotation s'effectue autour de l'axe O;. La force centrifuge sur un point A, situé à la distance R de cet axe, est dirigée suivant la plus courte distance du point à l'axe, dans le sens axifuge (et non centri-

SOS GEOGRAPlIIl-: .V A TU JC M AT/QUE

fiige, qui est une appellation tléplorable). Sa grandeur est :

Soit x et ?/ les coordonnées du point A; les composantes de la force centrifuge sont :

X^/ui.r.v, Y = «;(o-,//.

Pour l'équilibrer, c'est-à-dire pour empêcher le corps de s'éloigner de l'axe, il faut exercer sur le corps une force oxipète égale et opposée.

Ici encore nous considérons, non la force, mais l'intensité de champ de cette force. Ses composantes sont : w-.c, w-^.

Elle dérive du potentiel V défini par l'équation :

d\ OV

2°. — Les forces de la gravité dérivent du potentiel :

L'intégration est étendue à toutes les masses agissantes; /■ est la distance de la masse pf/c, au point où l'on calcule le potentiel. La pesanteur admet donc le potentiel total :

autrement dit, l'expression 11 une fois calculée, on a les composantes de la résultante par les formules :

:MV V— ^^^^' v — ^'^W

5°. — Équ.vtion de Laplace complétée.

Le potentiel total est défini par la relation

^^' = ^' + ^ (■^-. + 2/-) , ti ' o ù : A ^^' = A \' -f 2,,.-.

Remplaçant AV par sa valeur, il vient :

AW = — 4rG? + 2co'-.

La force vive se conduit donc comme une densité négative de valeur :

A peu près décuple de celle de l'air, mais 200 fois ]>lus petite que la densité moyenne de l'écorce terrestre, elle ne joue dans les formules de réduction (§ 284) qu'un rôle négligeable.

-'t°. — Voici une remarque intéressante. D'après la forme admise pour W, les surfaces W^ constante, sont indépendantes de la nature du corps soumis à l'inlensilé du champ de la pesanteur.

Voyons ce que cela signifie. Les composantes de la force sont :

D\\ -. 0\y ,. -dw

m A = m -^ — , 7» 1 = m -^ — , m L^= m —^r— . i'-v Oy uz

LUI Oi: VAII /O.V rCT ses COSSÉQUENCES 309

Or les dérivées coiiticMuicnl deux termes; dans l'un la masse inlervicnl comme facteur d'alli'aclion, dans l'autre comme facteur d'inertie. Dire f|ue les surfaces de niveau sont indépendantes d(; la nature du corps soumis à l'inlensitô du cliamp, c'est dire (|ue raltraclion newlonicnne dépend de la masse des corps et non de leur nature cliinii(pie ou piiysique.

Démontrer la première proposition sera donc déiuouLrer la seconde (§ 222).

212. Action sur un point extérieur d'une couche sphérique, uniforme, infiniment mince.

Je ra|)pelle quelques propositions dont nous ferons un perpétuel usage.

Soit O le centre d'une couche spliérique uniforme et infiniment mince; soit U son rayon, j la densité superficielle. Evaluons le flux à travers une sphère concentriques de rayon /•. Par raison de symétrie, les lignes de force hors de la couche sont des rayons AB, A'B'...; la force est constante en tous les points de S et normale à S.

Soit F sa valeur, le flux de force a pour expression : 4z/-F.

Il doit être égal à ^^r.'Zin.

D ou : r = — -.

Donc la force exercée en irn point p;„ 175

quelconque par une couche sphérique,

uniforme, infiniment mince, est la même que si toute la masse était condensée au centre de la couche (Newton).

COHOLI.AIIIES.

La proposition s'applique évidemment à une couche d'épaisseur quelconque de densité constante, ou même à une couche d'épaisseur quelconque formée de couches concentriques de densités constantes.

l'évaluons la force à la surface; il faut faire /'^R; d'ailleurs '!£/n = ir..l{-7; d'où : . F = 4z-.

Nous verrons que cette proposition est vraie d'une manière absolument générale v§ 215).

213. Lois d'attraction telles qu'une couche sphérique uniforme attire comme si elle était condensée en son centre.

1". — Soit F p) le potentiel créé par la masse puncliforme unité à la distance p. Calculons le potentiel V créé en un point A par une couche sphérique uniforme de densité superficielle 7.

La zone comprise entre les deux cônes de demi-angles au sommet 0 et 0 +df)^ a pour aire : 2- R-sinO(/0.

Le potentiel V est donc :

GFOGnAPIlIE MA T//ÉMA TIQVF.

On a d'où :

V = 2-R-7 r"F,:isinOr/0 = '^ T" F' iisiiiOr/O. «'o " i «.'o ~' '

p= = R^ -f r- — 2 R /■ cos 0, p.^/p = \\r sin 0 dn ;

L'intégrale doit être prise de B à G, soit entre les limites :

/— R et z+R.

Si F(p) = l : p, on retrouve Y = M :/•.

2'. — Ceci posé, écrivons que tout se passe comme si la matière

était concentrée au point O.

Il faut que le potentiel V soit la somme de deux fonctions ne dépendant respectivement que de /■ et de R. Dans la dérivation par rapport à /• qui donne la force au point A, la fonction du rayon II disparaît.

rig. 176. La fonction de /• est d'ailleurs con-

nue : c'est évidemment F(/).

Par suite nous avons identiquement :

/'^"F(p1pf/p = ^(/' + R) — i(/' — R)=R/-[F(r) + F,(R)].

Dérivons deux fois par rapport à /■, ensuite par rapport à R. Appelons 'V et 6" les dérivées par rapport à la variable /■ + R ou /• — R, suivant le cas. Il vient :

rc + R)-^