II- (II

' + R'7nT7-

d[\ ' "■ dW Egalons membre à membre et divisons par R/- :

2d¥ ^ d'-¥ 2dF, , d'-V\ r , . r

puisque les deux membres de la première de ces écjuations ne dépendent respectivement que d'une des variables /• ou R. Pour satisfaire à cette condition, on doit poser :

dr'

La loi en raison inverse du carré de la distance est donc la seule pour laquelle l'attraction diminue avec la distance, et i)Our laquelle une couche sphérique uniforme attire comme si elle était concentrée en son centre.

3". — Dans le cas d'une attraction proportionnelle à la distance, tout se passe comme si la masse M était condensée an ri'nirc d'Inei-tic, et cela quelle que soit sa distribitlion.

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LOI DE NEWTON ET SES CON S EQ LE .\ l E S 311

Soil CMi ciVol !■ ? =?% le potcMilicl créé par une masse puncliformc, Trouons le centre d'inertie du corps alliranl pour origine des coordonnées. Appelons ;, r„ :, les coortlonnées [d'un point M attirant, .( , //, r, celles du point A attiré. Le potentiel total a pour expression :

= -Mr-+ f f j'iVchi, —2.1 f f f -zth» — 2i/ f f f r.diii — 'Iz. j j j Ijliu.

Mais rorigiiie étant centre d'inertie, les trois derniers termes sont nuls :

V = M/-+ \ \ (w-dm.

L'intégrale que renferme cette expression ne dépendant pas de /■, raction sur le point attiré ne dépend que de M/-.

Tout se passe bien comme si la niasse entière"était condensée au centre d'inertie.

Dans le cas d'une couche spliérique, on a : V=:M,R^ + /■-;.

214. Action sur un point intérieur d'une couche sphérique, uniforme, infiniment mince.

i», Soit A un point quelconque (fig. 177). Menons le diamètre AO et le plan PQ normal à ce diamètre. Traçons deux cônes infiniment petits opposés par le sommet A et d'angle solide f/w : ils découpent sur la couche deux éléments ^/S et dS\ faisant avec les généra- Irives le nu'iiie angle -j.. Leurs charges agissent en sens contraires suivant la même direction.

Les forces qu'ils exercent sont proportionnelles à :

/■- sina' '■' sin:c'

elles sont donc égales : Les actions des éléments considérés s'équilibrent.

Sans rien négliger, nous pouvons décomposer la surface sphérique en groupes de deux éléments dont les eflets se détruisent. Pour chaque N[| groiiipe, les éléments sont de part et d'autre du plan PQ. Donc l'action totale de la couche sphérique en tout point intérieur est nulle.

2". — Réciproquement, parmi toutes les lois fonction de la distance, la loi en raison inverse du carré est la seule pour laquelle l'action d'une couche sphérique et uniforme est nulle en tout point intérieur.

En effet, soit :.r):r- la loi d'action en fonction de la distance.

Fig. i:

312 GEOGRAPHIE M A THÉ MA Tf QUE

Si ç'r) est constant, la force est nulle sur tout point intérieur.

Supposons donc que yV) ne soit pas constant : nous pourrons toujours trouver deux limites /•, et /•, entre lesquelles ^(z) varie dans le même sens, croisse par exemple : r/j:f/r>-0.

Traçons une sphère de diamètre i\ + i\, et considérons le point A tel que: m = r, ÂN = r,.

Pour les deux cônes opposés par le sommet, les forces sont :

dS'.(f{r') du

sina /• - sinot

Puisque /■ est plus grand que r' et que

d:}:dr>0, on a : F>F'.

Cette conclusion vaut pour un groupe quelconque d'éléments dS, dS', pris de part et d'autre du j)lan PQ. Comme celte division en groupes ne néglige aucune partie de la surface sphérique, l'action totale de cette surface ne peut être nulle au point A.

Donc si l'action est nulle, z{i-j est constant. C. Q. F. D.

215. Discontinuité de la force au passage à travers une couche de densité -.

1°. — L'action d'un plan S indéfini, recouvert d'une couche uniforme de densité superficielle c?, est attractive, normale au plan, indépendante de la distance du point agi A et égale à 27:j.

La densité superficielle 5 est le coefficient de l'élément d'aire dS dans l'expression de la masse f//» = «^S, qui recouvre cet élément.

Du point agi A abaissons la perpendiculaire AO sur le plan. Avec la trace O comme centre, décrivons dans le plan deux cercles de rayons /■ et /• + dr. Soit 0 l'angle avec AO des droites de longueur p qui joignent le point A aux points milieux de la couronne ainsi formée. La résultante des forces qu'exercent les éléments de la couronne sur le point A, est évidemment dirigée suivant la normale AO.

Son expression est par suite :

dF:

cosO = 27:7sin0.c/0 = — 2-jf/(cosO).

L'action de la plaque de centre 0 et de rayon /• est donc :

Pour le plan indéfini, il faut poser :

e = -:2; d'où : F = 2-7.