Conditions à la surface
L'espace est divisé en deux parties par une surface de discontinuité pour les densités qui passe par le point P (fig. 180;. A gauche de la surface la densité est ?, ; à droite elle est p^. La surface est courbe; mais comme je considère ce qui se passe au voisinage du point P, je la remplace par le plan tangent T; la normale PN en P a pour cosinus directeurs x, 3, Y- Les densités p, et p^ sont des fonctions des coordonnées; mais dans ce qui suit, p, et p, représenteront les valeurs de ces fonctions au voisinage du point P.
La composante de la force suivant O.r en A est (OV : Dx]^ ; en B elle est {d\ : dx\.
Fig. 179.
4 GEOGIiAPlIIE MATIIÉMATIQIE
1". — ^■ovons coinincnl elle varie lorsque A se déplace de dx et
vieat en A'. Menons par A et A' des plans parallèles à T; la distance de ces plans est xdx.
Le point A passe d'un côté à l'autre d'une couche d'épaisseur ar/.r et de densité superficielle 7^p^3.d.r. D'où une variation de la force due aux masses voisines représentée par lin vecteur dirigé dans la direction PN, vers la gauche, et de grandeur : 4za?,(Zj^'.
La composante de ce vecteur suivant O.r est 'i-z-.^, '/r.
D'où la condition :
Variation de
~)=—i-y:-?,d.v + }^ldjc. (i)
De même quand le point B passe en B', nous aurons :
Fig-. 180.
Variation de
■4-a^v^x^- Mdx.
La (juantité Mr/.r, qui est la niênie pour les points A et B suffisamment voisins de T, tient compte de l'action des masses éloignées, tandis que les premiers termes mesurent les actions des masses voisines.
Retranchant (2) de (1), il vient la première condition de passage :
.dx'), \dx\ .
= — 47ra^ (p, — pj.
Il en existe évidemment deux autres symétriques en y 6t :;.
2". — La figure 181 explique le sens de la formule. Soit ?i>?2- Quand on traverse le plan ijOz de gauche à droite, la densité diminue. Donc la
y///A//Ai////////y
fl>p2
lig. 181.
force croît moins vite ou décroît plus vite à gauche du plan yQz qu'à droite de ce plan. Elle est représentée par les ordonnées de deux droites qui se rencontrent en un point anguleux sur le plan yOr.. La force est continue, sa variation est discontinue.
LOI hE yEllTOy ET SES COySÉQLEyCES 315
Pour fixer ses idées le lerloiir cUidiera l'allraction par une plariue d'épaisseur a liiiiilée par deux plans parallèles indélinis.
Do pari el d'autre de la pla(|uo l'allraclion est constante.
Elle varie linéairement dans la plaque.
Les axes étant disposés comme dans la ligure 181, la force attractive par suite négative à droite do la plaque) est :
La force dans la plaque est :
A mesure qu'on se déplace vers les .r négatifs, la force croit en valeur absolue. Elle redevient constante et de valeur 2-sa elle est dirigée vers les .f croissants) pour .r= — a. On a bien pour .r = 0 :
Le lecteur se reportera à la figure 181 en bas. Il mettra horizontalement la droite inclinée qui est à droite de O: (.r positifs).
.r. — Déplaçons le point A parallèlement à l'axe 0^ de la longueur f//y. II vient en A" et traverse une couche de densité ?,, de faces parallèles à T et d'épaisseur ■:.dt/. D'où une variation de la force due aux masses voisines représentée par un vecteur dirigé suivant PN, vers la gauche et de grandeur 4-,'::////.
La composante de ce vecteur suivant O.v est 4r2,iî,f/(/.
D'où la condition :
Variation de (-^ j = — ''i--j.y^^<li/ + N^/^.
De même pour le point B.
Retranchant les équations, il reste la seconde condition de passage :
= — 4;;:<2fp.— p.V
Il en existe évidemment deux autres symétriques en i/z et z.r.
