Etude des surfaces de niveau au voisinage d'un point

1". — Prenons pour axes la verticale dirigée vers le haut et deux droites rectangulaires ([uelconques O.r, 0.y, dans le plan horizontal.

Ciierchons au point 0 l'expression des rayons de courbures Hj., H„, des sections de la surface équipotentielle

^^'=: Constante, déterminées par les plans .i- O;, yOz.

Sur la surface équipotentielle, on a :

- d.r 4- -:s— dy + -^r— <•'; :

Ar ' ^ dij "•^ ' Ûz La courbe d'intersection par le plan .rOr. satisfait donc à la rela-

tion

' ^ ' Ox ' dz ~ ' d.v~ Ox ' dz '

La tangente de cetle courbe à l'origine étant l'axe O.r, la cour- Ijure a pour expression :

1 c> 3 D'\V . 0\y 1 D'\Y R^'^O.i-'^ O.r' ' Oz ~ g Ox''

En effet le terme qui, clans la dérivation par rapport à x, aurait t)W: dx au numérateur, est nul, puisqu'au point O, OW : dx^^O.

U ou les lormules : 7r-= ^r-ri -Fr = :=r~r-

rij S' •••'■ R./ {,' «■'.'/"

La position des centres de courbure corresi)ondanls se détermine

sans ambiguïté.

2". — Soit R, et R, les rayons de courinire principaux. On a [Matli.

Ge«..à4o4): + = - (^^^ + ^ )=- + .

Soit : l'angle que fait la section principale 1 avec O.r; on a : 1 COS-9 sin-: 1 sin'3 COS-;

r;'^~r7"'"r7' R;~~R7^~Rr"

Retranchant membre à membre :

K, \\, cos2s\R^ R„' ^^ cos 2ç V :'^.«- ^V /

Calculons l'angle s. Ilest donné par l'équation [Malh. Gén., § 458) :

• 5tg'-. + (/- — rtg.— 5 = U, tg2ç = -^,

:>. 0\Y D\Y Dz D\Y DW

Mais on a : t- = t— : ^s — , t- == ï — '—r—-

i'.v i'x Vz Vij i'ij i'z

Différentions et tenons compte des conditions à l'origine :

La connaissance des dérivées secondes de la fonction W = Constante, fournit donc les courbures et la position des sections principales; ce qui était sur a priori.

219. "Variations de la pesanteur au voisinage d'un point. Au point 0, on a :

Ox — Oy ' ^~ dz ■ dg2^0'-\\ %il!^ Og d-\\ Ox~OzOx' d!j~î)zO>j' Dz~ Oz-- Au point 0 la pesanteur est dirigée suivant ();. Mais si l'on se déplace de dz suivant O:;, les composantes de la pesanteur suivant Ox eiOy cessent d'être nulles; elles deviennent :

dxoz «-'.y- "•