Continuité de la pesanteur

1". — La clcnsilé de volume étant partout finie et positive, on démontre que le potentiel et ses dérivées premières varient toujours d'une manière continue. Les surfaces de niveau ne présentent donc de discontinuités ni pour leurs ordonnées ni pour leurs plans tangents; il n'existe ni changement brusque dans les altitudes, ni arêtes, ni points anguleux. La pesanteur est donc toujours définie sans ambiguïté en grandeur et direction; nulle part elle ne varie brusquement de grandeur ni de direction.

Mais il existe des discontinuités pour les dérivées secondes quand une surface de niveau passe d'un milieu à un milieu dont la densité est différente. C'est ce qu'expriment les équations de passage du § 21G combinées avec les propositions démontrées aux §^ 215 et 219.

2". — Pour fixer les idées, supposons que le plan ijOz sépare deux milieux à droite de densité nulle, à gauche de densité ;.

Par hypothèse, au point O la pesanteur est dirigée suivant 0:;.

En vertu de la formule donnant Pi^, la condition de passage apprend que la variation de la courbure au point O est égale à 4zpG:^.

Voyons dans quel sens elle se produit.

Supposons d'abord que la densité reste constante et égale à 0. La composante de la pesanteur suivant O.r varie de la même manière de part et d'autre de 0:; : d'où résulte une courbure sans discontinuité Tig. 18.S). Au point A il faut ajouter dans un certain sens un vecteur c horizontal; au point O, il ne faut rien ajouter.

Au point B, tel que OA:^BO, il faut ajouter ce vecteur v en sens contraire.

Bensifé a Densité 0

32J GÉOGRAPHIE M ATll È M AriqV E

Supposons maintenant que la densité devienne p à gauche de Oz. De la traversée de couches plus denses, résulte l'addition d'un vecteur croissant à mesure qu'on se déplace vers la gauche; il s'ajoute à la précédente variation uniforme. D'où une courbure plus accentuée à l'intérieur du massif. Soit R„ le rayon de courbure dans l'air, R,„ le rayon de courbure dans le massif : on a :

1 1 4iTpG H„. R„~ g ■ 5°. — Pour obtenir l'ordre de gi-andeur de cette quantité, évaluons g en supposant la terre sphérique, de rayon R et de densité uniforme p,„. Appliquons le théorème de Newton : l'atttaction d'une sphère

Fig. 183 et 184.

est la. même que si toute la masse est concentrée au centre.

On a donc

D'oii :

^3.Rp„,G.

Posons que la densité du massif est moitié de la densité moyenne de la Terre :

Rm~Ra"^2R'

En particulier si le rayon de courbure dans l'air est égal'au rayon

terrastre, il reste : 15 2R