Densités des planètes
Connaissant les ili.-^tanccs des planètes et de leurs satellites à la Terre, connaissant il'autre part les angles apparents sous lesquels on les voit, on peut calculer leurs volumes.
Les lois de Kepler déterminent le rapport des masses, celle de la Terre étant prise comme unité. Puisque les expériences directes donnent la densité moyenne de la Terre, par conséquent sa masse, nous connaissons en i (/leurs absolues les masses des autres planètes. Avant leurs volumes, nous avons leurs densités moveunes.
10 GEOGRAPHIE M A TU E M A Tl Q V E
Voici le résultat de ces mesures et calculs :
Volumes
Masses
Densités
Pesanteur à l'équateur
Mercure
Vénus
la Terre
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
Soleil
Lune
On remarquera la petitesse de la densité des planètes à partir de Jupiter; elle est de l'ordre de celle de l'eau, tandis que celle de la Terre est 5,5 fois plus grande.
226. Conséquence de l'hétérogénéité de la Terre. Expériences d'Airy.
11 est donc certain que la Terre n'est pas de densité uniforme. La densité moyenne est A,„=5,53; la densité superficielle est de l'ordre de 2,5. Cherchons ce qui résulte de cette hétérogénéité pour la variation de la pesanteur quand on descend dans un puits de mine vertical. Traitons la Terre comme sphérique.
1°. — Terre homogè?;e.
Pour lixer les idées supposons d'abord la Terre homogène.
Soit R son rayon ; soit /• la distance du point considéré à son centre.
Les couches dont les rayons sont compris entre R et /■ n'ont pas d'action (§294); la gravité résulte de l'attraction seule de la sphère /•. Tout se passe comme si sa masse entière 4-/-'? : 3 était concentrée en son centre et agissait à la distance r, en raison inverse de /-.
La force est donc radiale et égale à :
Elle est proportionnelle à la distance au centre.
Représentons
Aitrâcaçn
attraction en ordonnées en fonction de la distance /• au centre portée en abscisses (fig. 188). La courbe est une droite entre r=^^ et /■=R; elle devient ensuite une hyperbole cubique. Les deux couibes ne se raccordent pas tangentiellement; elles se coupent sous un angle fini pour /■=:R. Le poids P varie d'une manière continue, mais sa dérivée (ZP : dr présente une discontinuité pour /• = R.
ÉTIDE EXPÉRIMENTALE DE LA GliA VI lÉ ET DE LA PESANTEUR 331
Sur ce cas particulier vérifions les équations de passage (i 216) : Hors (le la sphère la force est (en ex[)licitant les signes suivant la convention générale) :
/'r/v\ __;^ IV
\dr)~ .i'r'- Dans la sphère la force est ^d\
Il faut poser à la surface :
/• = ll, L'équation de passage est :
jlr'- L \dr^-)
d'où :
fd'\\ 8r.p R' \dr'-),- 3 ,•=
d'où :
fd'y\ 4z \dr')^- S'-
Pi = ?-
Ce qu'on vérifie immédiatement.
2°. — Passons au cas d'une sphère hétérogène constituée par des couches sphériques séparément homogènes.
Avec Roche admettons qu'en fonction de la distance /• au centre, la densité est représentée par la loi :
La masse contenue dans la sphère de rayon /■ est :
Ecrivons que la densité moyenne est 5,53, que la densité à la surface est 2,5 :
On tire de là :
Avec celte loi d'accroissement, la densité serait p(i=:10, au centre de la Terre.
Calculons l'attraction sur un point situé à lu distance /• du centre :
F = 7. = 3-Fo/-(l-^j^) = 3..v(l-0,46-).
Le poids ne diminue donc pas constamment à partir de la surface, quand on descend dans un puits vertical; il commence par croître comme l'indique la courbe en pointillé (fig. 200).
Il passe par un maximum qualid on a : /■:R = 0,85.
Le rapport du poids maximum au poids à la surface est :
Pour calculer reffet d'un rapprochement du centre (descente dans un puits de mine) égal à h et petit par rapport au rayon terrestre, remplaçons la formule /• par R — h.
Le facteur de correction devient : 1 -\-0J {h : R).
Il indique un accroissement de poids de l'ordre du dix-millième, au fond d'un puits de mine d'un kilomètre de profondeur; en gros, ce résultat est conforme à l'expérience.
La figure 188 est inexacte en ce qu'elle représente la courhe pointillée comme se raccordant tangentiellement à la courbe extérieure. Le S 216 nous apprend qu'il existe une discontinuité pour la tangente. On vérifie la relation :
dr- ,' \dr-
3°. — Airy comparait les intensités de la pesanteur g„ au sommet d'un puits de mine de 383 mètres de profondeur, g\ au fond du puits. Il trouva qu'au fond le pendule avançait de 2,25 secondes par jour. Les pesanteurs sont comme les carrés des fréquences.
On a donc: ^ = 1 + ^^^^=1 +
86.400~ ' 19.200" D'autre part, le rayon terresti-e valant 6.366 kilomètres, on a :, R = 16.000 A.
La formule indique une augmentation de 1 : 23.600, plus petite que l'augmentation mesurée. Il suffit d'admettre que la densité moyenne A„ à la surface au voisinage du puits était voisine de 2,15, pour trouver un facteur de correction 1 4- 0)85 (A : R), qui donne presque exactement le résultat d'Airy.
A'ni'ialion de la verticale.
