Définition théorique d'une nivelée. Conditions optima
1\ — A quelle condition deux points B et C sont-ils sur la surface de niveau S qui passe par l'axe optique de la lunette A réglée comme on l'a dit?
La surface S est courbe; l'axe de la lunette balaie le plan tangent : nous vérifions seulement que les points B et G sont dans le plan tangent. Nous devons obtenir que l'erreur, qui ne peut être nulle, soit négligeable.
Soit ^r= /■(,)•', une courbe tangente à Taxe des x pour l'origine des coordonnées. Développons en série; nous avons : y = mx- + ?ix^.
Pour que y soit négligeable, il ne faut pas que .r soit trop grand; d'autre part, .r est évidemment minimum à la fois pour les deux points B et C si nous plaçons A au milieu de la droite BG.
D'où la règle posée pour le nivellement de la France d'après
rexpérience de Bourdaloûe, qui n'était pas polytechnicien, mais se contentait d'être technicien fort hal)ile :
La longueur des nivelées ne dépasscid pas :l'iO à lôO nicires; le niveau sera installé, à un mètre /très, à égales distances des mires.
Une autre considération amène h\ même conclusion : les rayons visuels sont courbés par la réfraclion : l'erreur est proportionnelle au carré de la distance.
D'où la nécessité de nivelées relativement courtes.
2°. — Le lecteur réfléchira à celte conclusion qui choque les premières idées venues. On pourrait croire utile d'allonger les nivelées pour diminuer les erreurs accidentelles. jNIais pour une lunette donnée, l'erreur de visée croît à peu près proportionnellement à la distance, puisque les images pour de courtes visées sont plus grosses et plus faciles à lire. Supposons que l'erreur soit de 1 mm. sur la mire à 100 mètres; elle sera vraisenibla])lement d'un centimètre sur la mire à un kilomètre. Si nous faisons 10 lectures le long de ce kilomètre, pour avoir à redouter la même erreur, il faudra que la malchance nous amène à nous tromper toujours dans le même sens. Sans compter que les fautes grossières de lecture sont impossibles dans le premier cas, faciles dans le second.
Mais à ces erreurs de lecture s'ajoutent pour le kilomètre des erreurs de définition tenant à la rotondité des surfaces de niveau et à la courbure des rayons visuels. C'est donc avec grand'raison que Bourdaloûe a diminué les nivelées, augmentant ainsi considérablement la précision, malgré l'augmentation du nombre des mesures.
Ces remarques s'appliquent également aux mesures tachéométriques (§ 25).
11 ne faut rien pousser à l'extrême; prendre des nivelées trop courtes serait mauvais. La nivelée sera telle que la division en centimètres de la mire donne la meilleure approximation.
