Définitions
Pour étiulier la ligure de la Terre, nous pourrions nous limiter aux attractions par un ellipsoïde de révolution ayant un aplatissement très petit (§ 139). Le peu de concordance des faits avec cette hypothèse rend inutile une complication plus grande. Mais les physiciens ont besoin de résultats plus généraux; d'où le développement que nous donnons à l'attraction des ellipsoïdes.
Elle est traitée in abstracto dans ce chapitre.
Nous adoptons la méthode de Chasles; elle est longue, mais claire; on y suit aisément la marche des idées. L'expression hoinoid est empruntée au Traité de Philosophie naturelle de Tait et Thomson;
i°. — On appelle homoid une couche mince comprise entre deux surfaces homothétiqiws (semblables et semblablement placées) (fig. 211).
Soit BB', ce, les surfaces qui limitent la couche; soit 0 le centre de similitude. L'épaisseur £ au point B est mesurée par la distance des plans tangents qui correspondent aux points homologues B et C, plans qui sont parallèles par définition.
Elle est proportionnelle à la perpendiculaire pcentre de similitude sur le plan tangent au point B.
Soit en effet 6 et 6 + dH les rapports de similitude des surfaces considérées par rapport à une surface semblable de référence.
On a évidemment :
£:/; = fZô:e.
Un homoid elliptique est une couche mince comprise entre deux ellipsoïdes semblables, concentriques et semblablement placés tels que :
DP, menée du
fl- ^ è* ^ ,
3°. — On appelle homofocaux des ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers.
GÉOGRAPHIf: MA THÉ M A TIQUE
Ils rentrent clans l'équation générale
A est le paramètre variable qui définit le faisceau des surfaces. 5°. — Soit deux ellipsoïdes :
On appelle points correspondants deux points respectivement pris sur l'un et l'autre ellipsoïde dont les coordonnées satisfont aux relations :
Les points correspondants sont amenés en coïncidence par un changement des unités de longueur suivant les axes.
4°. — Faisons varier 0 de 0 à i; nous divisons l'intérieur du premier ellipsoïde (1) en une série de couches qui constituent une infinité d'homoïds.
Donnons au contraire à a des valeurs positives à partir de 0 : nous remplissons l'espace qui entoure l'ellipsoïde (1), de surfaces homofocales. Il est évident, mais le lecteur y prendra garde par la suite, que les couches ainsi constituées, n'étant pas limitées par des surfaces semblables, ne sont pas des homoïds.
260. Action d'un homoïd elliptique homogène sur un point intérieur.
Elle est nulle; son potentiel est uniibi-me. C'est la généralisation du théorème de Newton (^ 214). Par le point A et le centre des ellipsoïdes faisons j)asser un plan (fig. 212). II les coupe suivant deux ellipses concentriques et homoihétiques, admettant par conséquent les mêmes systèmes de diamètres conjugués. Par le point A menons une droite abcd; soit OC le diamètre conjugué de la direction abcd.
Les cordes ad et bc ont le même milieu M; d'où l'égalité :
Fig. 212.
ab^cd.
Ceci posé, parle point A menons deux cônes infiniment petits, opposés par le sommet et d'angle solide ^/m. Je dis qu'ils découpent dans l'homoïd des volumes dont les actions au point A sont égales et de sens contraires. En effet, décomposons les volumes limités par le cône au moyen de sphères de centre A; la force exercée en A par l'un ou l'autre de ces volumes a pour expression :
AT ni.tCT/Oy DES ELLIPSOI DES 379
/ y — = /ili.)clr = (Im/iIi- ■= (l(,> . ab = du^ . cd.
On voil aisément que nous pouvons, sans rien né<^liger de l'homoïcl, le découper en groupes de doux éléments de volume dont les ed'els se détruisent. D'où le théorème qu'il fallait démontrer.
Coitoi.L.Mniî.
Le théorème subsiste évidemment pour une couche homogène d'épaisseur quelconque comprise entre deux ellipsoïdes semi)lables et soml)lai)lemonl placés.
11 subsiste encore pour un système formé d'homoïds séparément homogènes, dont la densité varie suivant une loi quelconque.
