Application à l'Electricité statique

La densité suj)er/icie//r 7 d'une couche d'électricité en équilibre sur une surface conductrice est, par définition, proportionnelle à l'épaisseur d'une couche fictive mince à lacjuelle on attribue une densité solide (ou de volume) uniforme.

Soit £ l'épaisseur comptée suivant la normale à la surface conductrice (fig. 211), dS l'élément de surface pris au voisinage du point B ou C, p la densité solide. On pose :

pidS = cc/S.

Pour obtenir la densité 7 d'une couche d'électricité en équilibre sur un ellipsoïde conducteur portant une charge totale M (plus généralement d'une couche exerçant une action nulle en tout point à l'intérieur de l'ellipsoïde), on imaginera donc une surface concentrique et homothétique extrêmement voisine de l'ellipsoïde donné; on évaluera la distance t des plans tangents en des points homologues, B et C, par exemple. Soit :

a- b- cl'ellipsoïde conducteur.

Appelons 1 + f/O le rapport de similitude, /; la distance au centre du plan tangent au point .r, y, z; i l'épaisseur de la couche.

Le volume des deux ellipsoïdes et le volume de la couche sont :

-abc, ^-abc[i + dO]\ ^r.abc.dn.

Soit M la masse totale d'électricité; on a

dfi\ M

Reste à évaluer la distance p à l'origine, du plan tangent au point ,r, ?/, c, de l'ellipsoïde. Le plan tangent a pour équation :

d'Où: p=i,,J^^^ + ^, .=.^V£: + |; + £!.

Ce qui résout le problème.

Il résulte immédiatement du § 215 que la force sur un point de la surface extérieure de rellipsoïde recouvert d'une couche en équilibre, est normale à la surface et égale à :

, , dh , da , db , de

... '•r/'~^ -*'rP~ ■^■•!'P-f -^-t-P—-

262. Correspondance par points et par éléments de volume de deux homoids.

Considérons, d'une part, l'homoïd limité par les elli[)S0ïdes :

"| + f!+^=l. et ==(l + a)S (1)

d'autre part, l'homoïd liuiité par les ellipsoïdes :

i;: + i: + 4-:=i, et =(l + a)^ (2)

a- 0- c- On les conjugue deux à deux points par points, en posant :

Les points x, y, z, appartiennent au premier (ou au second) des ellipsoïdes (1); les points x, y', z\ appartiennent au premier (ou au second) des ellipsoïdes (2).

Au surplus, la correspondance a lieu simultanément pour toute la série des ellipsoïdes intermédiaires qu'on obtient en faisant varier le paramètre a entre Oet sa valeur actuelle a : à chaque ellipsoïde (1) correspond point par point un ellipsoïde {1\ la loi de correspondance restant toujours exprimée par les relations (3).

La correspondance des volumes élément par élément va de soi. Les volumes correspondants sont limités par des'points correspondants. On a évidemment :

dxdydz dx'dy'dz' abc a'b'c' '

les volumes des éléments correspondants sont comme les volumes des deux ellipsoïdes correspondants quelconques de l'une et l'autre série.

Tout ce qui ^irécède est vrai quel que soit le choix des quantités «, Z>, c, a', h\ c'.

Comme cas particulier, on peut supposer satisfaites les relations :

a~ — a' = b^ — b'-=^c- — c" ; les ellipsoïdes correspondants sont alors homofocaux.

.ITTnACriON DES KI.I.II'SOIUES 381

263. Distances des points correspondants sur les ellipsoïdes homofocaux.

On lionne deux conplcs de points correspondants sur dos ellipsoïdes honiolocanx :

M, 1', sur l'ellipsoïde 1; M', P', sur l'ellipsoïde 2.

Montrons qu'on a :

mF^mT".

Soit X, y, z, les coordonnées du point M; ç, y;, ï, celles du point P. Les coordonnées des points correspondants sont accentuées.

Les ellipsoïdes ont pour éciuations :