Potentiel d'un homoïd homogène sur un point extérieur

1" — Démontrons d'abord le théorème suivant : le potentiel d'un homoïd homogène H e/i un point P' de l'homoid H' homofocal, est au potentiel de l'homoid H' au point P correspondant de P', comme sont entre eux les volumes abc et a'b'c' .

En effet, les potentiels dont il est parlé ont pour expressions :

y^ff.jt, \'=ffp£L:

J J 'mv ■' '' 'M'P-

Dans ces intégrales, il et M' sont les points variables oii nous prenons les volumes dv et c/i''; P et P' sont les points fixes.

Découpons les homoïds H et H' (figurés par un simple trait dans la figure 213 en éléments de volume correspondants dv etdv'; on a : di' : abc=dv' : abc'.

A tout clémcnl dv : Ml'' de l'intégrale V correspond un élément (le l'intégrale V, élément qui contient l'élément de volume dv correspondant à </f, et la distance M P correspondante (c'est-à-dire égale) à MF. On a :

MF = MT, ^t==— i^=, ^=^,.

abc.yiP' a'b'c'.WP abc abc

Comme les volumes totaux des homoïds sont eux-mêmes dans le rapport abc : a'b'c', on peut dire que les potentiels V et V aux points correspondants P et V sont comme les l'olumes des homoïds.

Ils sont identiques si ces volumes sont égaux.

2". — Corollaires.

o) Les surfaces équipotentielles de l'attraction d'un homoid M sur tout point extérieur sont des ellipsoïdes liomofocaux de II.

En effet, nous savons (§ 260) que le potentiel V de H' est le même sur tout point intérieur; il est donc le même en tous les points P de l'iiomoïd H. Réciproquement, en vertu du théorème cidessus démontré, V est le même pour tous les points de H', qui par suite est une surface équipotentielle.

b) Couséquemment, l'action d'un homoid en un point extérieur Q est normale à l'ellipsoïde homofocal qui passe par ce point.

c) Traçons un faisceau d'ellipsoïdes homofocaux. Soit H,, H,, H', trois de ces ellipsoïdes. Utilisons les ellipsoïdes II, et H^, pour former deux homoïds : pour cela traçons deux ellipsoïdes respectivement concentriques et semblables à II, et à H^, et tels que les volumes des couches soient comme les produits des demi-axes «/^/', : afijc^.

Ils admettent l'un et l'autre comme surface équipotentielle l'ellipsoïde homofocal H'.

Leurs potentiels en un point de H' satisfont à la relation :

afiSi ^ib^c^ a'b'c' ' Deux homoïds homofocaux déterminent donc en un point extérieur des potentiels qui sont entre eux comme leurs volumes.

d) En un point d'un homoïd homogène, le champ extérieur dû à cet homoid lui-même est normal à la surface extérieure, qui est la première des surfaces équipotentielles.

Nous retrouvons la proposition du § 201. Une couche d'électricité répandue sur un ellipsoïde suivant la loi indiquée produit un potentiel constant à l'intérieur; elle est elle-même une surface équipotentielle et exerce une action normale sur tout point voisin.