Variation du potentiel au voisinage d'un homoid

1". — Partons de l'ellipsoïde :

Posons: «'- = «- 4-"/., b"- = b- -{- '/,, c'- = c- + a.

ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES ibt

Nous avons nuuitré au § 2(>i (lu'en un poiril A de la surface d'un honioïil lie ileiiii-axes «', //, c', a' -j- do', b' -f- db\ c -\-dc', la force est normale à la surface et égale à :

, , ,da' , ,db' , ,dc'

■•■' "/ fi' '•/ // ■•/ ^.' '

// est la dislance du centre de l'ellipsoule au |)lan tangent mené par le point A.

D'autre part, nous venons de voir (pie les surfaces é(|uipotenLiQlles des actions de cet liomoïd sont des ellipsoïdes homofocaux à l'ellipsoïde il) qui le limite. En particulier, les surfoces équipotentielles très voisines de l'honioïd s'ol)lienncnt en remplaçant"/, par /. + f/>..

Uapproclions ces deux résultats pour trouver la relation qui existe entre la variation de potentiel d\ au voisinage de l'homoïd, et la variation d'i. du paramètre X.

1*°. — Soit X, V, Z, les coordonnées du point A considéré sur l'ellipsoïile (1) qui limite l'homoïd. Le plan tangent en ce point est :

a- + A b- + A c La distance p' de l'origine à ce plan est :

Les cosinus directeurs de la normale au point A sont :

Enfin si à partir du point A, on s'avance sur la normale de c/X, d\ , d'L, le chemin parcouru est :

est : dn =', , . +7-^ — ^ + Vr^ • 3

Ecrivons que le point X + f/X, Y + dY, Z + ^^Z, est sur l'ellipsoïde

homofocal de (1) dont le paramètre est /. + cZà.

Cela revient à différentier (1) :

.,/XfZX , YdY ZdZ^^ X' Y^ ^'1;-

- V^FTT> '^b'- + X "^ c= + /J - l{a'- + A^j "^ {b' + -a)") ^ (c^ + Af J ■■

Introduisons dans cette équation les résultats (2) et (3); il vient :

2dii d'/. . il'/.

3°. — Tout ceci posé, écrivons que la force est égale au taux de diminution du potentiel suivant la normale :

F(Z« =.— (A', 4-yy ^'. —, = — dY , a 2p

d'où enfin : — dX = 2~ d\ = 2~ d\ = 2t. % d',.. (4)

Ces formules donnent la variation du potentiel d\' , dii l'oisùiage d'un homoïd dont la surface extérieure est l'ellipsoïde (l), en fonction de la variation du paramètre a qui définit le faisceau des ellipsoïdes homofocaux de (1).