Potentiel d'un homoïd elliptique en un point extérieur

L'expression précédente ne vaut qu'au voisinage de l'homoïd agissant. Le théorème du § 264 permet de la généraliser pour un point extérieur A situé à une distance quelconque de l'homoïd agissant.

En effet nous avons démontré que deux homoïds homofocaux déterminent en un point extérieur A des potentiels qui sont entre eux comme leurs volumes.

Considérons donc l'homoïd défini par l'ellipsoïde

a- 0- cet par l'ellipsoïde voisin tel qu'on ait :

da (Ib de

Ecrivons qu'il a même volume que l'homoïd du paragraphe précédent, sur lequel se trouve le point A. Nous avons la relation :

j da , ,da' abc — =r/ b c —r ■ - (b)

La variation r/V du potentiel précédemment calculée pour le

point A est valable pour l'action de l'ellipsoïde (15) à la condition

d'introduire la relation (6) dans l'expression (4) :

. .-, da abc r)da abc

~^ '^lîTVc' "-~â ^'(„. + x)(^-2^x) [c' + %'

Pour obtenir le |iotentiel au point A dû à l'homoïd (.5), il suffit d'intégrer à partir de l'infini où >, = x , et où nous savons ([ue le potentiel est nul, jusque sur la surface homofocale de l'ellijjsoïde attirant qui passe par le point agi A.

D'où la formule :

y^-2r.abc'l^ r ''''

Enonçons le résultat fondamental obtenu sur lequel repose tout ce qui suit. Le potentiel en un point extérieur A dû à une couche de matière comprise entre deux ellipsoïdes semblables, de demi-axes a, b, c; a + da, b + db, c + de; se calcule au moyen de l'intégrale (2j ;

Le [laramètre '/. est obtenu en faisant passer l'ellipsoïde :

A TTHACTIOS DES ELLIPSOÏDES

par le point A. Soient X, Y, Z, les coordonnées du point A; la limite "/, de l'intégrale est définie par l'équation :