Potentiel dû à un ellipsoïde plein
^"•-Soit i + |J + |=l'
l'équation de la surface de l'ellipsoidc plein donné.
Nous le décomposons en une infinité d'iiomoïds au moyen des ellipsoïdes concentriques, semblables et semblablement placés :
à'fi"- b-ff- ^ c'Ô' 0 varie de 0 à 1.
Chacun de ces homoïds produit au point A de coordonnées X, Y, Z, un potentiel :
\ = — Ir.ahc.ir — / — :
*■* . '^. \^i^fct} + >.) ifi'-b- + a) (G-c= + >.)
le paramètre /. est obtenu en écrivant que l'ellipsoïde :
+ zd^ + ;
passe par le point A, ce qui fournit la condition : ''^ "'^ +-.^==1,
0-rt- + A 6-//- + A 6-C- + A où X, Y, Z, sont des constantes; elle établit une relation entre 8 et A. En définitive on efl'ectuera par rapport à "a l'intégrale ci-dessus écrite; dans le résultat on remplacera "a par sa valeur en fonction de 0; enfin on intégrera par rapport à 0 de 0 à 1 pour additionner les actions de toutes les couches concentriques. Le potentiel cherché a donc pour expression :
Y = — 2-abc / nhlH / (1)
y o y a> \'[H-a- + >.) [if-b- + a) {if-c- + a)
Au lieu d'un ellipsoïde homogène, s'il s'agit d'un ellipsoïde décomposable en couches concentriques semblables séparément homogènes, on introduira la densité ;^/"(0), sous le premier signe somme.
2". — Transformons l'expression (1). Posons a=:0-«; n'oublions pas que, d'après le sens des symboles ci-dessus rappelé, 6 est une constante pour la première intégration.
Divisant haut et bas par 0% nous avons donc identiquement : n- d\ 1 p' du
J ^ \/[fi-a- + a) (6-6»^ -h a) (6-c' + >.) ""Ôy^ ^{^a- + u){b'- + u)[c- + u)'
Il est la racine de réqualion
X, Y, Z, sont les coordonnées du point A où nous calculons le potentiel.
Nous pouvons donc écrire le potentiel sous la forme :
N=2r.ahc f\id<i r ^"
La seconde intégrale effectuée nous donne une fonction de », que nous exprimons en G au moyen de l'équation (2), ce qui permet la seconde intégration. On peut naturellement éviter d'exprimer la fonction de u au moyen de 0, en explicitant Or/O sous forme d'une fonction de u. Il suflit de différentier (2) où X, Y, Z sont des constantes, puisqu'elles représentent les coordonnées du point oii l'on calcule le potentiel :
Il faut enfin changer les limites.
Pour 6 = 0, on a u^^tj ; pour 0 = 1, u prend la valeur q
qui est la racine positive de l'équation : . Vî V2 7s
du.
a^ + q b^ + q c- + q Le potentiel s'écrit :
r r '" =Tiu.
iJ. \l{a'- + u){b'-\-u){c'-+u)\
3°. — Si l'ellipsoïde est formé de couches concentriques séparément iiomogènes, mais dont la densité est variable de l'une à l'autre, 0 s'introduit dans la première intégrale; on ne peut simplifier davantage.
Quand l'ellipsoïde est homogène, on va plus loin.
Posons :
i:\/{a- + ii){b- + u){c- + u)=f{u), / f(ii)du^<f{u). Intégrons par parties la quantité :
r^ r^{u)du r ç(») -1'° p^'{ii)dii
On voit aisément que cette expression a pour valeur :■
ATTHACrtOy DES Ë LU l'SOl D ES
Appliquons la luôine translbnualion aux trois intégrales doubles; c'est-à-dire faisons successivement : C:=rt% i', c'. Tenons compte de l'équation (.5). Il vient :
du
si{a' + u){b- + u){c'- + u)
Si le point attiré est à la surface de l'ellipsoïde, l'équation (3) devient :
vs V* 7î
les intégrations ont i)Our limite inférieure (/=:0.
