Calcul de la pesanteur sur le géoïde
i". — Nous ignorons pour l'instant où passe exactement le géoïde à l'intérieur d'un continent; il semble donc impossible de calculer l'intensité de la pesanteur à sa surface. Pour comprendre que le problème est soluble, précisons les ordres de grandeur et les approximations.
Nous avons longuement expliqué que le nivellement ne fournit pas la iiautecr au-dessus du niveau de la mer; s'il fournit sans peine la différence de cote DYNAMIQUE, il ne foumit que cela.
En un lieu A situé sur une montagne, creusons un puits vertical.
Si ce point A est nivelé à ])artir d'un point al)ordable du géoïde, nous connaissons le nombre de kilogrammètres qu'il faut dépenser pour élever une masse connue à partir du géoïde jusqu'au point A. Comme la pesanteur ne varie i)as beaucoup le long de la verticale, nous connaissons donc sans contestation possible la distance approximative du géoïde au point A. Cette distance approximative sera suffisante pour la correction que nous voulons calculer.
Fig. 219.
' COOliDl^ATIOy Di:<, MESi/IES DE LA VESAyTEUH 40'J
T. — Trarons un tube cIo force comprenant le point A d'oljservation, (iiii est sur la surface pliysique. Soit S„ et S, les surfaces qu'il découj)e sur le géoiile et sur le j)lan horizontal du point A; soit g^ et jj, les valeurs correspondantes de la pesanteur.
Le théorème des flux de force donne :
X/» représente la somme des masses comprises dans le morceau de tube de force considéré.
La distance h étant petite, des approximations sont permises. Admettons d'abord que les verticales concourent au centre de la Terre, à une distance R; on a :
La formule devient donc :
4zGï/»
Soit A la densité moyenne de la Terre dans le tube; soit A„, la densité moyenne de la Terre. Approximativement on a :
Zm = AS„/i, i;,=|-R^GA,„: R^=|rRGA,„. La formule devient :
^°~^'v +R RA,J: ^'
La pesanteur reste constante, s'il existe entre A et A,„ la relation : 3A = 2A„,
En général, à la surface de la Terre, A est de l'ordre A,,.: 2. Le troisième terme de la correction est donc plus petit que le second : la pesanteur croît quand on s'enfonce dans la Terre; le pendule fait des oscillations plus nombreuses; une horloge avance quand on la descend dans un puits de mine.
La formule ^1; néglige la densité fictive négative à laquelle équivaut la force centrifuge §211,.
3. — Fixons les idées par des nombres. Nous avons (en mètres) :
2h r.h r.h D'autre part, en vertu de la formule :
la fréquence n des oscillations d'un pendule est en raison inverse de la racine carrée de l'intensité de la pesanteur. D'où l'effet de l'altitude seule :
re„ = n. 1 — 1,57.10-".A1.
410 GÈOCRAniIi; MATHÉMATIQUE
Faisons «, = 86/100; il vient :
Le pendule fait par jour un battement de moins pour chaque élévation de 74 mètres.
Faisons le même calcul en posant :
La formule devient :
-^»==-^'0+R-2r)=-0 + 2r)- Le coefficient A est devenu 4 fois plus petit. D'où :
Le pendule fait par jour un battement de moins pour une élévation de 294 mètres.
283. Détermination plus précise du géoïde, i°. — Supposons connue la densité A. De la pesanteur expérimentale g^, nous déduisons la valeur g^ de la pesanteur sur le géoïde; elle permet le calcul d'une Valeur plus exacte de la distance du point d'observation au géoïde, à partir de la distance verticale /; résultat brut du nivellement.
Soit en eflet i,'^o' la valeur de la pesanteur au point du géoïde d'où nous sommes partis pour le nivellement. Le travail le long du nivellement est sensiblement :
Hg.+ëo') ■■■'-■
Ecrivons qu'il est égal au travail pour passer du point nivelé au géoïde sur la verticale AB :
Hg. +go) = h'[g,+gX h' = h U+^^^^).
2". — Pour fixer les idées, voici l'expérience célèbre de Bouguer. 11 trouva qu'en passant du niveau de la mer à Quito (2.850 mètres d'altitude;, la pesanteur passait de 1 à 1 — 1:1331. La différence de cote dynamique entre le géoïde et Quito est donc proportionnelle à :
y 2GG2J'
pour le calcul du travail, je prends la pesanteur moyenne. Posons que la densité moyenne des roches sous Quito est A=A,„:2.
La pesanteur sur le géoïde dans la verticale de Quito est donc plus petite que celle de Quito, de la fraction :
hf.^^^\ 1 1 1
COOIiDISATIOy DES MF.SUItES DE LA I' E S A iW E C It
La jiosonteur moyenne sur la verticale est donc la inoilié de
La distance //' du géoïde à Quito satisfait donc à la relation :
'''(^-2-4)=^«^H'-2l!ô2) /i' = 2 850 mètres -(- 32 centimètres.
Fig. 220.
Rédiiolinii des mesures brutes.
284. Hypothèse des géodésiens à la recherche de paramètres normaux.
1\ — L'application des formules précédentes ne peut donner lieu à aucune contradiction; nous ne faisons qu'appliquer les théorèmes généraux concernant les masses agissant en raison inverse du carré de la distance. L'incertitude porte sur la densité et la distribution détaillée des matériaux; mais si les erreurs sont possibles (comme le percement du Simplon l'a montré aux frais de l'Etat suisse^ elles ne sont cependant pas de nature à beaucoup fausser nos résultats.
Appliquons ces corrections aux mesures brutes : la formule de ClairaiU ne s'en applique pas mieux, à supposer que les écarts ne croissent pas. Donc quelque chose cloche dans notre système de raisonnements. Gomme nous le verrons plus loin, l'erreur consiste à poser que le géoïde est très voisin d'un ellipsoïde, tandis qu'à la vérité il s'en écarte beaucoup. iLais dans leur manie de simplicité, de paramètres normaux et autres fichaises, c'est bien la dernière hypothèse que puissent admettre les pontifes géodésiens.
Ramener les /nesures au ni^'eau de la mer, au géoïde, à la surface de niveau dont nous admettons provisoirement que la surface moyenne des océans fait partie, n'a rien de chimérique. Mais vouloir que les
412 GEOGRAPHIE MATUEMATIQLE
résultats bruts ainsi corriges collent avec la formule de Clairaut {i 280) est parfaitement arbitraire. Comme ils ne collent pas, il fallait trouver une autre manière de faire la réduction, puisque la manière incontestable ne donnait rien qui concordât avec les formules calculées pour un sphéro'ide admettant une certaine symétrie.
Voyons ce que les géodésiens ont découvert.
Q". — Formation des mo>'tagnes aux dépens de la choute sous-
