V CM

F=-;— , d'où: dY =^ t da,

.(la.

LOI Dr-: LA GIl.ly/T.lTION 451

LV'-qualion donnant la pression prend donc les deux formes équivalentes :

Cette cciiiation diflerentielle entre la pression, la densité et la distance au centre, s'applique à un fluide quelconque. Explicitons la masse M; il vient :

dp=—i-p-^J^ pa\(

2°. — Pour fixer les idées posons que p est une constante. Il vient :

La constante d'intégration est déterminée par la condition qu'à la surface, pour « = R, la pression soit nulle. Posons :

a=— jT — ; il vient : p=^ — hj — «(2 — a).

Ainsi, bien que par hypothèse tous les astres aient même densité, aux points homologues la pression est proportionnelle au carré de leur rayon R. 11 n'y a pas similitude; la mesure de la pression suffirait à nous avertir que les astres ont changé de dimensions.

Pour nous rapprocher des phénomènes réels, prenons la loi suivante de variation de la densité (loi de Roche) à l'intérieur des planètes :

P=fo(l— /■■«-)•

On trouve aisément

p„, p^ et Pi sont des constantes. Mais la constitution actuelle des planètes, c'est-à-dire les paramètres po et A", sont fonction de la masse de cette planète. Les matériaux se sont rangés suivant un certain ordre en raison de leurs compressibililés, par suite en raison de la pression que produisait leur masse totale, par suite encore en raison de cette masse totale. Comment supposer que cet ordre ne changera pas quand nous modifierons la masse totale?

3°. — En définitive il n'est pas permis de supposer que le volume augmente, sans qu'il en résulte une augmentation corrélative de la densité mo3'enne. On le vérifiera au moyen du tableau du § 225.

Que nous considérions la Terre, Mars et la Lune qui sont principalement composés de matériaux solides et liquides, que nous considérions le Soleil, Jupiter et Saturne où l'élément gazeux paraît prépondérant, nous trouvons que le volume, la masse et la densité moyenne varient dans le même sens. Une hypothèse qui fait varier deux de ces éléments en maintenant constant le troisième, peut amuser les mathématiciens; elle est inadmissible pour les physiciens.

Essaj'ons d'imaginer un Soleil on miniature; nous ne pourrons réduire le noyau central sans diminuer la pression, par suite sans exagérer l'importance des couches extérieures, chromosphcre et couronne. Le photosphère finira par disparaître; le Soleil brillant sera remplacé par une nébulosité diffuse, à peine éclairante, analogue aux comètes. De ces changements il sera bien impossible de ne pas nous apercevoir.

4°. — D'après la théorie cinétique des gaz, les molécules sont animées de vitesses qui ont une certaine valeur moyenne, pour chaque gaz à chaque température. Certaines molécules ont naturellement des vitesses beaucoup plus grandes, telles qu'aux confins de l'atmosphère il arrive qu'elles échappent à la gravité et sortent du champ d'action de la planète. On explique ainsi que la Lune se soit peu à peu dépouillée de toute atmosphère gazeuse. Si nous réduisons les dimensions de l'Univers, par suite les intensités des champs de la gravité, les gaz à vitesse moyenne petite qui étaient retenus dans les atmosphères de certaines planètes, auront plus de chances d'en sortir. A la longue on conçoit que l'observateur soit averti du changement des dimensions de l'univers parla variation de composition des atmosphères.

Quoi qu'il en soit de ces raisonnements, encore ne peut-on pas les considérer comme négligeables et admettre sans plus la proposition de Laplace qui les contredit formellement.

311. Instantanéité de la gravité. Indépendance de son action et de la vitesse actuelle des corps agis.

1°. — « Nous n'avons aucun moyen pour mesurer la durée de propagation de la pesanteur, dit Laplace, parce que l'attraction du Soleil ayant une fois atteint les planètes, cet astre continue d'agir sur elles comme si sa force attractive se communiquait dans un instant aux extrémités du système planétaire. On ne peut donc pas savoir en combien de temps elle se transmet à la Terre, de même qu'il eût été impossible, sans les éclipses" des satellites de Jupiter et sans l'aberration, de reconnaître le mouvement successif de la lumière.

« 11 n'en est pas ainsi de la petite différence qui peut exister dans l'action de la pesanteur sur les corps suivant la direction et la grandeur de leur vitesse. Le calcul m'a fait voir qu'il en résulte une accélération dans les moyens mouvements des planètes autour du Soleil et des satellites autour de leur planète. J'avais imaginé ce moyen d'expliquer l'équation séculaire de la Lune... Je trouvais que si elle provenait de cette cause, il fallait supposer à la Lune, pour la soustraire entièrement à sa pesanteur vers la Terre, une vitesse vers le centre de cette planète au moins six millions de fois plus grande que celle de la lumière.

La vraie cause de l'équation séculaire de la Lune étant aujourd'hui bien connue, nous sommes certains que l'activité de la pesan-

LOI DE LA GRAVITA rioy «3

teur est beaucoup plus grandi- encore; elle agit donc avec une vitesse (|ue nous pouvons considérer comme infinie. »

2°. — \'oici de quelle manière Laplace conduit son calcul.

Partons des équations :

dl^ ' dl-

Transformons en coordonnées polaires /•, ;. Soit R la composante radiale de la force, N la composante normale au rayon vecteur. On a :

R = Xcos; + Ysini, N = — Xsin; -f Ycos ;;

a: = /-cos5, y = /sini.

Formons les quantités R et N; substituons aux dérivées secondes en X et y, les dérivées secondes en /• et :. Un calcul simple donne :

dr- ' Kdt) hÎ ' ' dl- " dl dt m Multiplions la seconde par rdt et intégrons :

td r'-\ J m J ^ '

Transportons dans la première équation : d^ dt

'l^^Lfc+f^U^. (2)

Ceci posé, admettons qu'il résulte du mouvement une variation de l'attraction pouvant élre considérée comme une force supplémentaire dirigée suivant la vitesse actuelle, proportionnelle à cette vitesse et fonction de la distance. Cela revient à écrire :

/•"V dtj r\ dt r dt

Laplace intègre les équations (1) et (2) dans l'hypothèse que la trajectoire est quasi circulaire. Il pose :

où 6 et ■/ sont des fonctions du temps à déterminer dans l'hypothèse que a est une quantité très petite fonction de la distance; mais la distance variant peu, a devient une constante très petite.

On ramène alors aisément les intégrales à la forme :

/• = a(i + "^ecosiit — 2ay.n-t)

o^nt — 2,3esin«^ + z^fi^-Ji^l'.

^e est le rapport de l'excentricité primitive à la distance moyenne.

r'Nrdt aS r , xSn On a : / = dz= 1.

Il résulte de là que le moyen mous'ement du corps est assujetti à une équation séculaire proportionnelle au carré du temps.

Laplace généralise pour une excentricité non très petite; j'en ai assez dit pour fixer les idées du lecteur.

3°. — Formule de Wecer.

Cette force fonction de la vitesse qui exprime la modification de l'attraction newtonienne due au déplacement du corps agi, est introduite arbitrairement par Laplace. Au fond le problème c[u'il traite est l'action d'un milieu qui résiste proportionnellement à la vitesse.

En particulier la force cesse d'être centrale.

La question a été reprise par Weber à propos des actions électriques.

Weber admet que l'action de deux masses en mouvement est une force centrale d'expression :

G/«M n 1 /dry r <•/-/•-!

"L 2^- vu) '^v-d?]'

Elle dérive du potentiel :

V est une certaine vitesse de valeur déterminée, en fait la vitesse de la lumière.

La force étant centrale, la loi des aires subsiste :

r-d:f = Cdt.

La première équation devient :

dV C , ^,, f^ ri 1 /dry-] dF-=? + '''^dr[l-2J^^{dt)\-

APPENDIGK 11