Première solution

i°. — Prenons pour auxiliaires les angles :

ËÂ=a, AEE'=?.

Les triangles, rectangles fournissent les relations :

cos :t = cosD. sin/H, (1) cosa = cos H. sin A, tgD=:cos-=H. tg,3. tgII = cosA. tg(3 + X)

7't GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

Soient donnés la déclinaison D et l'angle horaire /H; on demande les coordonnées locales II et A.

Construisons les courbes :

cos y.sin.r^cos^:, tg (/ = cos.r.tg 3; nous prenons a et p comme paramètres des faisceaux.

Pôle

JZiniik

Fig. 47.

2°. — Courbes en a.

Pour :z=90°, cosa=0, la courbe se réduit à un rectangle. Les hypothèses x=0 ou 180°, y quelconque, donnent deux droites verticales; les hypothèses ?/ = di90°, x quelconque, donnent deux droites horizontales.

Pour z très petit, cos a voisin de 1, il faut que ;/ soit petit et .*■ voisin de 90". Posons ,r-|-?=- : 2. L'équation devient :

cosy. cos;=(l— |-^ (l — t)==^-

La courbe est le cercle : v/^ + ;^ = :z-.

Pour a quelconque, les courbes sont comprises entre un cercle et le rectangle circonscrit.

2°. — ^ Courbes en [i.

Les courbes en (i sont horizontales pour .r = 0°, ,r==180", le cosinus passant. alors par un maximum et un minimum

On a alors : ?/ = ±^.

Généralement on a :

■-!- — ^tffii.sinx.r/.» .

cos-?/ °

Pour ,r=90°, ?/ = 0, il vient : (^/// = tg ,'i. r/.r.

L'angle que fait la courbe avec l'axe des x est égal à fi.

i°. — Ceci posé, soit à résoudre le système d'équations du paragraphe précédent.

DlirEllMiy.lTION OE LA LAIlILhlC 75

l'osons (l'aljord : .'/^-'^ a'=/il.

Ces fiiianlilés dctiiiissenl un point du plan par où [Kissriit une courbe y. cl une courbe ^ parlaitement déterminées.

Posons maintenant : y=zll, .r = A.

En vertu des équations (2), le point liguralif de ces coordonnées inconnues est sur la courbe y. i)récédemment déterminée. Il est aussi sur la courbe ,3 +'/, que nous trouvons immédiatement, puisque par hypothèse la colalitude "/. du lieu d'observation est connue.

En définitive, le point chei-ché se trouve à l'intersection des courbes a et iS + A.

D'où la solution graphique du problème posé.

P. Constan a publié chez Gauthier- \'illars des graphiques représentant les courbes ci-dessus étudiées. Il est clair que deux tables à double entrée donnant a et ,a en fonction de x et de y rendent exactement les mêmes services. Celles de Souillagouét donnent les deux côtés de l'angle droit y et E d'un triangle rectangle dont on donne l'hypoténuse z et un des angles ^; les paramètres 2 et P varient de 30 en 30 minutes.

57. Seconde solution, i". — Reprenons le triangle de position. Par l'astre A, menons au méridien du lieu un grand cercle normal AN. Nous définissons ainsi deux angles auxiliaires :

Fig. 49.

Les triangles rectangles donnent les équations :

sin ç=:;cosD.sin.H, 1) sinŒ = cos H. sin A, (2)

tg (i!/ + A).tg D ^cos M. tg ti.tg II^cos A.

Elles diffèrent à peine de celles que nous avons précédemment

utilisées. Elles ont servi à la construction des curieuses tables de Lord Kelvin (éditées en russe par Kortazzi, en français par Collet).

Le problème à résoudre (nous verrons plus loin dans quel but, § 84) est le suivant.

On donne la déclinaison D de l'astre, on mesure sa hauteur au-dessus de l'horizon H; on demande de calculer son azimut A et son angle horaire /H. On ne peut donc immédiatement calculer ni ç ni 6. Mais on sait que les angles cherchés substitués dans les formules ;1) et (2) doivent donner le même ;, et des i qui diffèrent d'une quantité connue (au moins approximativement), cjuantité qui est la colatitude "/.

du lieu d'observation.

2°. — La figure 50 représente la disposition des tables. Chaque table contient une colonne pour les angles 'y ayant 90 lignes; elles correspondent aux 90 degrés. Les colonnes suivantes, qui sont doubles, répondent chacune à une certaine valeur de o; chaque page comprend 10 doubles colonnes; il faut donc 9 pages pour parfaire la table. p; 50.

Les angles D, ill, d'une part, II, A, de l'autre, sont inscrits dans les doubles colonnes. (t] Si l'on donnait M et A, il serait aisé d'obtenir D et R\. Nous chercherions par tâtonnement la ligne de la double colonne sur laquelle sont inscrits précisément les angles donnés II et A (ou des angles voisins:; nous trouverions en regard les valeurs correspondantes des angles auxiliaires ç et 'i. Restant dans la même double colonne 9, nous chercherions les angles D et /'Il qui correspon-

JS

Dhr/:itMi.v.i ri o.\ de /.a latitude 77

dciil à '} +"/,. Au cas où les lal)lc's ne fourniraient pas cxaclement les angles donnes, nous ferions une inler|)olalion linéaire.

L'opération serait la même si l'on donnait D et /II, à la seule dilTérence qu'au lieu d'ajouter la colatitude >. à l'angle i trouvé, nous la retrancherions.

h) L'opération est un peu plus compliquée quand on donne D et II, c'est-à-dire les angles qui doivent se trouver dans la même colonne. Nous clierchons alors par tâtonnement deux lignes de la première douhhî colonne 9 distantes de "/. degrés, et sur lesquelles soient précisément inscrits les angles donnés 1) et II; les angles cherchés 1\\ et A sont ceux que contient sur les mêmes lignes la seconde colonne de la même double colonne 9.

Pour faciliter le tâtonnement, on se sert d'un compas à pointes sèches. On place l'une des pointes sur le zéro de la colonne <b, et l'autre sur le nombre donnant la colatitude X en degrés. La distance des lignes qui doivent contenir les angles donnés D et II est précisément égale à cette ouverture de compas.