Tables. Marche du calcul

1". — On posst'de (les tables à doiiljle entrée donnant en secondes d'arc le changement de haiitenr pendant la minute qui précède ou ([ui suit le passage au méridien, pour toutes les déclinaisons comprises entre 0" et 2'i", pour les latitudes allant de 0 à 80. Les tables sont doubles, puisque la latitude et la déclinaison peuvent être do même dénomination ou de môme signe (toutes deux nord, par exemple), ou de dénominations contraires (l'une nord, l'autre sud).

Le coefficient est (à un facteur numérique près) :

cosZ.cosD : sin(^ — D).

Pour les mêmes valeurs absolues de l et de D, le numérateur reste inchangé quand on change le signe de l'une de ces quantités; le dénominateur est plus petit quand les deux quantités sont de même dénomination, que lorsqu'elles sont de dénominations contraires. Toutes choses égales d'ailleurs, la correction est donc plus grande quand la déclinaison et la latitude sont de même dénomination que lorscju'cUes sont de dénominations contraires.

La correction est illusoire pour ^=:D.

Par exemple, on trouve :

/ = 30" 0 = 10° changement de hauteur 4",9

Pour 2, .'], 'i,... minutes, le changement de hauteur est 4, 9, 16, ... fois plus grand.

?". — Exemple de calcul.

Si l'on prend des hauteurs pas plus de 7 ou 8 minutes avant le midi vrai et de 7 ou S minutes après, on peut admettre comme rigoureuse la formule :

l — l^=h{t — Q\ ^l—nk=k^[t — t,Y.

Voici dès lors comment on procède.

On additionne toutes les hauteurs observées, on divise par le nombre ii des observations; on a la hauteur moyenne. Connaissant la déclinaison moyenne de l'astre, on a la latitude moyenne HZ ; n.

Il s'agit de la corriger.

Par hypothèse, on connaît l'heure du midi vrai; on calcule donc (en minutes) les t — /„; on fait la somme de leurs carrés, qu'on divise parle nombre des observations "^{t — to)' : n.

La latitude et la déclinaison moyennes fournissent le coefficient h qu'on lit dans les tables. On a donc la correction /.-^ (f — /„)- : h, qu'il suffit de retrancher de la latitude moyenne.

62. Latitude par l'observation de la Polaire {y. Petite Ourse).

Si le pôle était exactement représenté par la polaire, on aurait la latitude d'un lieu en mesurant la distance zénithale de cette étoile :

84 GEOGRAl't/IF M A Tl/h.V A TIQ CE

Mais la Polaire ne coïncide pas avec le pôle; d'où la nécessité de petites corrections pour tirer la latitude / de la mesure de sa distance zénithale z (fig. b\).

Partons de la formule fondamentale :

cosr. = sin /.sinD + cosZ.cosD.coSiîl, qui devient : cosc^cos X.sin D + sin/..cos D.coSjÎI. (1)

Comme première approximation, on a évidemment :

X=:; + scos/H.

Posons : \^=z-{-o cos M + 1.

£ est de l'ordre de 2-. Résolvons (1; par développement en série. Au troisième ordre près, on a:

C" COS" ÏI

cos/. = cos:; — (s + ScosiH; sin z — r^— — cosc,

c" coS" I¥{ sin/. ^ sin ; -|- (3 -f î cos.îl cos ; — ,, sin;.

Transportons dans (1). Nous obtenons aisément :

£ := — cotg z. sin- .îl. y.

D'où la formule classique :

'/. = z -\-ccos M — ^sin-.îl. cotgr.. (1)

Quand la Polaire passe au méridien, on a simplement :/, = :;±S. Pour.î^I = 90'>ou270°:

■a = ; — jcotgr..

La formule (1) n'est applicable que si z n'est pas trop petit; sinon cotgw prend' des valeurs qui rendent vaines les appro.ximations.

2°. — L'application de la méthode est analogue à celle du § 59.

Dans la Connaissance des Te/iips nous prenons pour midi moj'en de Paris, 15 juillet par exemple, le temps sidéral, c'est-à-dire l'angle horaire que le point vernal fait avec le Soleil moyen.

Nous trouvons :

temps sidéral = . II. = 7" 29°' 0%2i.

Dr.TF.KMISATIOS DE LA LATITLDE «5

Nous clierclions l'ascension droite de la Polaire (x Pclilc Ourse) : 1" 29'" ir)'.74.

Nous avons la distance hor;>ire de la Polaire au Soleil moyen par la formule :

.^1„ = .^ + -R^temps sidéral, /n = 5" 59'" 'i4*,47.

Partant de là et grâce à la table de conversion du temps moyen en temps sidéral, nous calculons l'angle horaire de la Polaire avec le méridien de Paris, pour une heure quelconque de temps moyen à ce méridien.

Nous connaissons, d'autre part, au moins approximativement, la longitude ouest du lieu où nous sommes. En retranchant de l'angle horaire ci-dessus calculé pour l'heure de notre observation, nous déterminons l'angle R\ que fait à cet instant le cercle horaire de la polaire avec le méridien du lieu où nous sommes, et le complément 0 de la déclinaison de cette étoile. Mesurant z, la formule ci-dessus démontrée donne >, et son complément l qui estla latitude cherchée.

>'?". — Si le pôle était fixe, l'ascension droite et la déclinaison de la Polaire seraient invariables. La précession, la nutation et l'aberration produisent des variations qui sont relativement considérables en raison de la proximité de l'étoile au pôle; mais elles n'interviennent que dans des termes correctifs.

Pour lixer les idées, voici la marche des coordonnées delà Polaire en 191."i.

Nous exprimerons l'ascension droite par le nombre 1'' 28"'+ un certain nombre n de secondes.

n^=lô au !"■ janvier; puis n décroit et passe par le minimum /i= 1 le 1" avril.

Il croît ensuite et devient maximum avec 7i = 148 le 27 octobre. L'année se termine avec « = 111. La variation maxima est donc de 147 secondes de temps, 2"" 27% ce qui fait 36' 45" d'arc.

La distance au pôle était de 1° 8' 28" au 1" janvier.

'/". — La détermination de la latitude par l'observation de la Polaire ne convient qu'aux lieux dont la latitude est boréale et supérieure à 10"; pour une latitude inférieure, la réfraction intervient trop. Sous cette restriction, la méthode est d'une extrême simplicité.

On l'utilise ordinairement pour les observations d'explorateur à terre avec un théodolite.

On peut la rendre encore plus simple grâce aux remarques du S 73 qui permettent la détermination directe de l'instant où la Polaire passe dans le méridien.

Remarquons en effet que les termes principaux sont :

\ = z + 68'cos M=z + 68'— 6S'(1 — cosM). Pour M='o% 68'(1 — COS. «:, = 0,0038 X 68 = 0',25= 15". Ce qui fait 1.852 : 4 = 463 mètres d'erreur à la surface de la Terre.

CEOGRAPIlIi; M.\TIIICM.\ TiqrE

Le méridieu serait-il donc grossièrement déterminé, la précision reste de l'ordre de celle de la lecture au cercle du théodolite.

L'erreur de 5" sur le méridien correspond à une erreur de 20 minutes sur l'heure du passage.