Méthode de Gauss par les hauteurs de deux étoiles
i". — On observe les distances zénilliales z, z' (ou les hauteurs h, h') de deux étoiles E, E' (de coordonnées /R, D, ^Tl', D', connues) à des temps / et /' dont la difl'érence sidérale /' — t est connue.
Il revient au même de poser qu'on observe les deux étoiles au même temps /, pourvu qu'on retranche la dif- T" férence t' — t de l'ascension droite de l'étoile E'. En effet tout se passe comme si notre zénith, par rapport à la sphère céleste immobile, se déplaçait sur un petit cercle de la sphère, dans le sens de la flèche. Dans l'intervalle t' — t, il s'est
donc avancé vers les étoiles dans le sens direct : tout, se passe comme si les ascensions droites diminuaient.
Reposons donc le problème. On observe simultanctnent les distances zénitlwles z, z\ de deux étoiles E, E', de coordonnées connues. On demande la latitude et l'angle horaire P au moment de l'observation. La figure 59 correspond à cet énoncé.
Il est évident que le problème est parfaitement déterminé.
II est résolu par les équations suivantes :
sin/<^=sin /.sin D + cos^.cos D.cosP, (1)
siii//=sin/.sinD' + cos/.cosD'.cos(P — p). (2)
Les inconnues sont / et P; /> est la différence des ascensions droites corrigées comme il csl dit plus haut, différence exprimée en angles. Gauss donne une solution d'une complication infiuie et que je me garde de reproduire. Le calcul effectué de proche en proche est beaucoup plus simple et, somme toute, aussi rapide.
Dans le triangle PEE', on connaît les côtés PE, PE', et l'angle compris yy. On calcule le côté EE' et l'angle PEE'.
Dans le triangle ZEE', on connaît maintenant les trois côtés.
On calcule l'angle ZEE'.
D'où la différence (angle de position pour l'étoile E) :
PEE' — ZEE'=PEZ = t'.
Dans le triangle PEZ, on connaît r., PE, et l'angle PEZ. On calcule PZ (qui est la colatitude) par la formule : sinZ=cos z. sinD + sin c.cosD.cos e,
et P par la formule :
sin P cosZ
sin; sinE Le problème est résolu.
5°. — Voici l'application que fait Gauss de sa méthode. Le 3 août 1808, avec un sextant, il détermine les temps pour lesquels deux étoiles prennent la même hauteur /i = /i'=45° 44' 52", G. Ces temps étaient à son horloge : -
a Aigle 20" 40"' 8' x Andromède 20" 46-° 59^ Les coordonnées de ces étoiles étaient alors : a Aigle /R = 295° 22' 6",6 D = + 8° 22' 4.3",1
a Andromède 7R=359° 38' 10",;i D'= + 28' 2' 13",4.
La différence des temps est 6" 51' qui, convertie en angle, fait
La différence des ascensions droites est 64" IG' 11", 9. D'où: 7^ = 62° 33'2G",9.
Substituant dans les formules, Gauss trouve :
/ = 51''31'47",19 P=ir 55' 18", 31.
D'après la situation des étoiles au moment de l'observation, il conclut pour l'angle 7M (jue fait le méridien de son observatoire avec le point vernal :
a=295°22' G'^G + lloôS' 18",31 = 307" 17' 24",91,
soit en temps 20'' 29"" 9', 66, au moment oii son horloge, réglée sur le temps sidéral, marquait 20" iO™ 8\
L'horloge était donc en avance de + lO"" 58%34, le zéro étant supposé défini par le passage du point vernal au méridien.
DETEtlMISATIOS DE LA r.ATITLDF. «1
Il est bien clair (|ue de ce résultat on peut tirer la longitude de l'observatoire par rapport à un lieu dont on connaît l'beure, par exemple, par rapport au méridien de l'aris. A l'heure de l'observation, on sait par hypothèse quel angle z' le point vernal l'ait avec le méridien de Paris : la longitude est la somme ou la différence des angles y. et a', suivant la manière dont ils sont disposés.
L'angle x se calcule aisément au moyen tlu temps sidéral à midi moyen (|ue fournit la Connaissance des Temps.
À la place de deux étoiles, rien n'empêche d'utiliser la même pour deux temps assez diflerents. L'angle /j est alors simplement le temps sidéral (|ui s'écoule entre les observations, temps exprimé en angles.
