Problème de Douves

i'. — C'est le prril)leme |)récédent où l'on utilise le Soleil. Il s'agit de calculer la latitude par deux hauteurs du Soleil prises hors du méridien, et par l'intervalle de temps écoulé entre les observations.

L'angle p n'est pas égal au temps qui sépare les observations, parce que le mouvement du Soleil vrai en angle horaire n'est pas égal au mouvementdu Soleil moyen. Mais, comme il s'en faut de peu, les nombres donnés par la Connaissance des Temps permettent de le calculer par interpolation, si l'on connaît approximativement l'heure de temps moyen du méridien de Paris. On se servira de la colonne qui donne, par heure de temps moyen, l'avance ou retard du Soleil vrai sur le Soleil moyen.

D'une observation à l'autre la déclinaison varie: la variation, quasi nulle près des solstices, est d'environ 24' par jour au voisinage des équinoxes.

La solution est ordinairement obtenue par une méthode de fausse position très rapide.

Pour généraliser, nous supposerons que d'une observation à l'autre l'observateur s'est déplacé : sa latitude est devenue / + \l.

Son déplacement en longitude amène une nouvelle petite correction sur l'angle/?. * ,

Le déplacement de l'observateur est connu par estime d'après la route et la vitesse approximative.

En définitive, il faut résoudre le système :

sin/i = sin/. sinD + cosl. cosD. cosP, sin A'=sin ;7 + A /).sinD' -f- cos {l + A/), cos D'.cos(P — p).

Les inconnues sont, comme précédemment, l et P.

On connaît / approximativement (latin/de par estime). On transporte la valeur estimée /, dans les deux équations; on calcule les valeurs correspondantes P, et P^de P. Si elles sont égales, la valeur l^ est exacte : ce qui n'arrive généralement pas.

Si elles sont inégales, on substitue une seconde valeur /, ; on calcule les valeurs P^ et P^ correspondantes de P. Elles sont encore généralement inégales. On a la valeur exacte de l par interpolation

02 GÉOGRArilIE MATHEMATIQUE

linéaire. La figure (iO montre la construction j)our l'interpolation graphique.

2". — Un procédé en appareiice plus exact, mais plus long et qui. revicn/ iilcnliquement au même, consiste à calculer, pour chacune des formules, (|uel changement sur P entraîne un changement sur l.

Din'érentions la première formule :

(cos^. sin D — sinZ.cosDcosPu//=cosLcos D. sin P.r/P.

Or, d'après le § 55 :

Anales Jiorajres

(ll:{cosl.tgA).

Nous calculons ainsi l'inclinaison de la droite P,P,. N'est-il pas plus simple de la déterminer par une seconde fausse position?

L'emploi des dérivées n'est commode que si leur calcul est immédiat; sinon, il est plus simple de calculer la fonction pour une valeur voisine de la variable. Or ici le

calcul de la dérivée introduit bien inutilement les azimuts A et A'

pour les deux positions de l'observateur.

69. Méthode des hauteurs égales appliquées à plusieurs étoiles.

i°. — Dans ces derniers temps, Beck, Claude, Driencourt,... ont préconisé la méthode de Gauss, avec une valeur toujours la même de h = h'.

Par hypothèse, l'instrument permet de noter les temps pour lesquels une série d'étoiles connues arrivent à une hauteur toujours la même (hauteur qui n'a pas besoin d'être connue, qui du reste se trouve déterminée par les expériences mêmes). On demande d'en déduire la latitude du lieu et l'angle horaire de son méridien avec le plan horaire du point vernal, pour le temps /.

Nous savons que toutes les observations peuvent être supposées faites au temps t, à la condition de retrancher des ascensions droites le temps sidéral qui s'écoule entre le temps / et l'heure de l'observation.

Pour déterminer la latitude du lieu d'observation et l'angle horaire P de son méridien avec l'étoile E observée au temps /, nous avons donc la série d'équations :

C = Constante = sin l. sin D -f- cos /. cos D. cos P

= sin l. sin D' -|- cos /. cos D'. cos (P — //),

DÉTEItMISATIOy DE l. A /.Al/TCDE 93

= sin /. sin D' + cos /. cos D". cos (P —/>"), (1)

p',p",... se déduisent de la didorence des ascensions droites

-Tl' — /K, .R" — ."K,...

et de la diflërence des temps /' — /, /" — /,...

p':={JR' — /R) — ./ — /]...

On déterminera / et P au mieux pour satisfaire simultanément toutes ces é{|uations. La valeur de la constante étant supposée inconnue, il faut observer au moins trois étoiles.

L'appareil le plus précis permettant de noter le temps pour lequel une étoile passe à une hauteur toujours la même, est Yastrolabe à prisme de Claude et Driencourt. Je le décris dans mon Cours sur la Description... des insirumenis de mesure et d'obser^'ation.

2°. — Montrons la manière de traiter les équations 1 .

Si elles étaient exactement compatibles, il existerait un système / et P donnant pour la constante C = siu/;, la même valeur à partir d'une quelconque. En raison des erreurs sur les coordonnées .î{, D, des étoiles utilisées et des erreurs d'observation, les équations ne sont pas exactement compatibles. Xous posons que les meilleures valeurs pour / et P sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des dill'érences des valeurs C calculées à leur moyenne F.

Pour trouver ces meilleures valeurs, partons de valeurs approchées / et P; les meilleures valeurs sont / + À, P + Il ; par hypothèse A et II sont des quantités petites qu'il s'agit de calculer.

Appelons C,, C,,... les valeurs de C quand on substitue dans les équations (1) les quantités approchées / et P. Quand on y substitue les quantités l -}-'/.. P -r II, les valeurs de la constante sont C^, C^ ... En vertu de la petitesse de >. et de II , on a :

Cj = C,l+ «,/, + 6,n, C. = C^-]- aj, + bM, et ainsi de suite.

Soit r la moyenne des valeurs C,, C^,... Ecrivons :

c;— r=c, — r + «,>. + bM=z, + «,>. + bji, c; — r = C, — r + «,>. + bAi=-., + ax + 6,n,

Nous convenons de prendre pour >. et II les valeurs qui rendent minima la quantité S C — Vf.

Nous avons :

'Z{Q' — Vy-^Zt- + 2\I.ta + 2[\-Zib + u-Za- JrUUZab -{-IV-Zb-.

D'où pour le minimun les deux conditions qui fixent les valeurs de A et de II :

Iîa-f)^«- + II.i:rt6=0,

-Zib + \^ab + \lI.b^ = Q.

Reste à calculer les a et b. Différentions l'une des équations (1) :

dC^^adl + bdU;

fl = cos /. sin D — sin /. cos D. cos ' P — // ,

6= — cos/. cosD. sin(P — p^.

94 GLOGIIAPHIE M A TU K M A TI QV E

([uanlités que l'on calcule en utilisant les valeurs ap|)rocliées / et P, et en remplaçant D qX p par les valeurs qui correspondent à chaque e'toile.

J'ai traité ce problème pour montrer au lecteur ce qu'est la irirthodc des inoindres carrés.