Formules de Borda, de Garnett
A notre point de vue le problème est résolu. Il ne l'est pas au point de vue des marins, ([ui, fort. légitiDieinciit, attachent une importance extrême aux calculs les plus courts. On s'est donc efforcé de trouver la distance vraie î en fonction des données de l'expérience (/*', H'. î'i et des résultats des calculs préliminaires (h, H), au mo3'en de formules calculables par logarithmes ou par le moyen de tables spéciales.
1". — Formule de Borda.
En éliminant A entre les formules (1) et (2), on a immédiatement :
cos/^.cosH ; ^, , ,1' , ii'i /7 , ij\ /o\
cosï= n rrr[cosî + cos « -|- II ] — cos /t + H), (3
cos/i .cos H \ 1 -. /' \ /
formule non calculable par logarithmes. Mais on a :
h'+iv + i' h' + 11' — y
cos i' — cos {h' + H'] = 2 cos
h -L M cos [h + H) = 2 cos- — ;^—
cos 5= i D'où aisément :
h + II :COS r; — • COSi,
en posant :
h' + H' + s' h' + H' — 3' cos h. cos H sin-i = cos — ■ — . cos -^
2 cos h', cos ir ^ h 4- H'
cos'— 2-
Ces formules sont calculables par logarithmes.
.l/./MCrS. IIEUliE LOCM.i:. I.OXCITLI) E 119
Evidomiiiont le calcul par la forimilo de 13orda est plus court que le calcul par la Ibnuule (.'^); mais pour luou but, ('diiqncf siicitlifi- (/iirincnl le Iccloiir, l'iutérèt de la trauslornialiou est nul.
Cependant la formule de IJorda est encore d'un calcul p(;niblc : il l'aul chercher 10 lopjarithmes à 7 décimales avant d'obtenir s.
Le calcul est abrégé [)ar une tal)lc de la Coiuuiissance des Temps donnant log (cos 11 : cos H'), ([ui est toujours voisin de 0.
Les astronomes se sont donc ingéniés à raccourcir ces calculs : on voniple plus ilc cent mr/hodes; utile sujet de méditation pour l'citudiant qui compare la valeur éducative d'un problème à ses solutions techniques, et [)Our le professeur qui doit résolument laisser dans les aide-inrinoire ces solutions, en ne conservant que juste ce qu'il faut pour fixer les idées. Le lecteur sera dès lors bien capable de faire son choi.\; il évitera surtout de surcharger sa mémoire.
2". — KouMUi.E nE Gahnett.
Indiquons une solution ch'cc tables spéciales.
On pose : sinus verse .»■= sinv.r= 1 — cos.r.
Remplaçons les hauteurs par les distances zénithales.
La formule (li devient :
cos 3 — cos ;. cos Z sin ;. sinZ ' cos(r. — Z) — cosc sinv î — sinv(; — Z)
cos A.
sinv A
sin;. sin Z sin;. sinZ.
Appliquons au triangle apparent, égalons les deux valeurs de
, „ sin; . sinZ ,
smvA. Posons : -: — -, — -. — rr-^i — c-
sin; . sinZ
On trouve en définitive :
sinv 0 — sinv î' = sinv(; — Z) — sinv (;' — Z'j — K [sinv o' — sinv (;' — Z')",.
Une table spéciale donne la valeur de F. Des tables étendues donnent les sinus verses. On remarquera que les différences des hauteurs zénithales sont (au signe près) égales aux différences, des hauteurs; d'autre part, en raison de la délinilion du sinus verse, il ne change pas de signe quand change le signe de l'arc : on introduira donc sous les signes sinv les différences des hauteurs vraies ou apparentes.
Pour ; = ;', Z = Z', on a : F::=0, î = î'.
La formule montre bien la nature de la correction, ce que ne fait pas celle de Borda.
La formule de Mendoza est d'une forme analogue.
