Cercle de hauteur

i". — La nu'tliodo suivante pouv faire le point [si/uer le navire sur la carie) réalise l'idée général*; qu'une observation unique, incapable par elle-même de fixer la position, donne un lieu géomé/rirjue sur lequel le navire se trouve nécessairement.

Toute observation doit donc être calculée aussitôt que faite; elle fournit le renseignement qu'elle peut fournir, qu'on la complète ou non par une seconde observation que le temps rendra peut-être impossible :

Il est lkgitimk de poskii qu'aujourd'hui on a toujours avec EXACTITUDE l'heure DU MÉRIDIEN ORIGINE. La CoiiHaissance des Temps permet donc de déterminer, à l'instant de l'observation, au zénith de quel point P de la Terre se trouve un certain astre A, de déclinaison et d'ascension droite connues (§ 52).

Nous pouvons le marquer sur notre carte; nous faisons ainsi correspondre un point P de la carte à l'astre A.

En d'autres termes, connaissant l'heure de Paris, nous connaissons à tout instant la latitude et la longitude géographiques de l'astre projeté sur la sphère terrestre. En un jour sidéral il décrit un parallèle terrestre, si sa déclinaison est invariable.

A l'instant de l'observation nous pouvons donc faire un point sur la carte.

Ce n'est pas une façon de parler. Les cartes marines à grand point ne sont pas des objets de collection; on passe son temps à faire dessus des ligures au crayon; on s'arrange seulement de manière que les traits soient facilement eflaçables.

La détermination de la hauteur de cet astre fdistance à notre horizon) ou, ce qui revient au même, la connaissance de la distance de cet astre A à notre zénith Z, fixe la position de notre zénith sur un petit cercle de pôle A et de rayon AZ = r.. Ce cercle de hauteur est\e lieu géométrique sur lequel doit nécessairement se trouver notre zénith à l'instant de l'observa-

lion : // est complctemcnl connu. Traçons sur la carie son image (c'est-à-dire la courbe conjuguée dont l'équalion dépend du système de projection utilisé : elle représente l'ensemble des lieux de la Terre parmi lesquels il faut choisir notre position actuelle. Pour fixer cette position, une seconde observation est nécessaire; ce sera, par exemple, au même instant la distance zénithale d'un autre astre A', de déclinaison et d'ascension droite connues. Notre position est déterminée par l'intersection sur la carte^^des courbes conjuguées {images] des deux cercles de hauteur.

Si nous connaissons la latitude du lieu ou sa longitude, le point est déterminé par l'intersection de la courbe conjuguée d'un cercle de hauteur, avec les courbes qui représentent sur la carte le parallèle ou le méridien sur lequel nous sommes par hypothèse.

2". — Le tracé du cercle de hauteur seraittrès simple sur un globe matériel. Mais le rayon de ce globe devrait dépasser 3 mètres pour que le mille marin fût représenté par un millimètre. En efl'et, à un mètre le degré vaut 17"", 45; à trois mètres, il vaut r)2""'',.'3.5, dont le soixantième n'atteint pas un millimètre.

Sur une carte en projection stéréographiqiw, un petit cercle de la sphère a pour image un cercle : le tracé est donc immédiat; un calcul simple donne le rayon du cercle image dont on connaît le centre A. Mais de multiples raisons font préférer la projection de Mercator pour les cartes marines : un petit cercle de la sphère a pour image une courbe transcendante (§ 111); on ne peut songer à la déterminer par son équation.

A la condition de tracer la courbe point par point, tons les systèmes de projection deviennent également commodes.

Partons de l'équation fondamentale :

cos r. = sin/. sin D + cos /. cosD. cos(L — /H).

C'est l'équation d'un plan, par suite sur la sphère l'équation d'un petit cercle de rayon r., dont le centre a pour coordonnées D et /H, et dont les points ont pour coordonnées Z et L.

M est l'angle horaire de l'astre compté à partir du méridien origine; D est sa déclinaison; l et L sont la latitude et la longitude inconnues du lieu d'observation; c est la distance zénithale mesurée.

Rien ne nous empêche de donner à / des valeurs successives, de calculer les valeurs correspondantes de L, de reporter sur la carte les points ainsi déterminés : nous avons le lieu cherché en les joignant d'un trait continu.

.■>'°. — Nous facilitons singulièrement le travail en remarquant ([uc si / et L sont inconnues, nous en possédons cependant des valeurs approximatives résultant de la route suivie à partir du dernier point déterminé {% t)li. Nous n'avons aucune raison de tracer toute la courlje; nous n'en voulons que l'arc sur lequel il y a des chances que nous nous trouvions : il se confond pratiquement avec une droite dite droite de hauteur.

POINTS KT no U r hS 1 27

Nous (liri<>e()ns donc le calcul de manière à lixcr le plus vile possible la position (le cette di'oile. Nous nous contentons de deux points de latitudes /,, et /, peu dillerentesde celle du lieu où nous sommes. \ous tirons de la formule les valeurs correspondantes L„ et L, de la lon<;itudo. Nous transportons les points /„, Ij„, /,, L,, sur la carte et les joignons par une droite : toutes opérations qui ne supposent aucun système spécial de projection.

Pour clia(|ue valeur de la laliludc, la l'ormulc donne deux valeurs pour la longitude : quand le cosinus est donné, l'arc est connu seulement au signe près. Mais l'incertitude sur la longitude, bien que généralement plus forte que sur la latitude, ne laisse pas de doute sur la solution à choisir.

Poursimple que soit la méthode, on en préfère d'autres qui sont plus rapides, mais c[ui n'ajoutent rien à l'idée fondamentale. En définitive l'observation de la hauteur d'un astre connu, à une heure connue, fournit une relation entre la latitude l et la longitude L du lieu où nous sommes. Nous traçons sur la carte un arc de ce lieu en calculant les longitudes pour deux latitudes estimées. Nous reportons les points calcules sur la carte; enfin nous traçons (au crayon) une droite, lieu ap|)roximalif de la position du navire.

C'est à cela que se ramène la méthode. Il est effrayant de penser que certains auteurs délayent des notions si simples en un volume tout entier.

94. Obtention de la droite de hauteur sur les cartes de Mercator.

ï\ — L'observation unique dont nous disposons donne un lieu sur lequel nous sommes nécessairement. Le problème est de remplacer ce lieu par une tangente menée d'un point voisin de celui où nous sommes, ou par une sécante voisine de cette tangente (f//'o;7e r/c JiaiileiUj.Ce n'est évidemment possible que grâce à une donnée supplémentaire fournie par l'estime de notre position actuelle. Comme donnée la plus sûre, on utilise généralement la latitude estimée.

Les méthodes foisonnent, toutes plus ingénieuses les unes que les autres. Je n'en discuterai pas la valeur technique. Tandis que les techniciens résolvent de cent façons des problèmes qu'ils ne prennent pas la peine de poser, je me contente de les bien poser, le reste allant de soi pour un lecteur intelligent.

5". — Utilisation des cartes de Meucatok.

Au lieu de calculer deux points à l'aide de la formule fondamentale, on s'appuie sur le fait que la projection de Mercator utilisée dans les cartes marines est conforme : elle conserve les angles. On admet d'autre part sans grande erreur qu'une droite de la carte (qui est limage d'une loxodromie) représente pratiquement un grand cercle. D'où la construction suivante.

Parlons de In lalitude estimée l. Par la formule :

cos ; = sin /. sin D 4- cos /. cos D. cos (L — M),

calculons la longitude L correspondante. Nous connaissons ainsi en tovite rigueur, outre le point A représentatif de l'astre, un point Z de la carte assurément voisin de celui où nous sommes, et appartenant au cercle de hauteur. Tirons la droite AZ : nous pouvons approximath'ement la considérer comme l'image d'un grand cercle de la sphère, grand cercle qui est un rayon du cercle de hauteur. Puisque les angles sont conservés, l'image du cercle de hauteur

est normale à AZ au point Z. Menons une droite normale à AZ : c'est la droite de hauteur. En fait, c'est l'image d'une loxodromie très approximativement tangente au cercle de hauteur pour le point Z qui appartient rigoureusement à ce cercle.

5°. — Emploi de l'azimut déterminé ou calculé.

Partons de la latitude estimée, calculons la longitude : nous déterininons en toute rigueur un point Z du cercle de hauteur et son image sur la carte.

La méthode précédente a l'inconvénient déjà signalé que la droite AZ n'est pas l'image du grand cercle AZ de la sphère. La droite AZ de la carte et l'image du grand cercle AZ de la sphère aboutissent au point Z suivant des directions qui peuvent dillërer notablement : d'où erreur égale sur la direction de la droite prise comme droite de hauteur.

Pour éviter cette erreur, nous pouvons calculer sous quel azimut le point estimé Z voit l'astre. Ce calcul effectué, au lieu de mener la droite ZA allant du point Z au point A de la carte, du point Z nous traçons une droite ne passant plus par le point A, mais faisant avec le méridien l'angle A calculé. La droite de hauteur lui est normale.

Autrement dit, nous nousappuyons sur la conservation des angles; nous calculons sous quel azimut l'image du grand cercle ZA ajjoulit au point Z. Nous connaissons donc la direction de la tangente de son image au point Z.

l'OINTS ET nOLTES

On peut déterminer l'azimut A par un relcvoment direct. On peut aussi le calculer au moyen des tables du S ri7. Le triangle de position donne la rorniulo :

sin(/ll — L) sinA . . ,^ . ,.,, ., „,

^ = 7-) sin A = cos D. sin (.11 — L) : cos II.]

sin z cosD ■'

Nous sommes donc ramenés à calculer IW — L et A en partant de D et de II, ce qui, aux notations près (ici /tl est l'angle horaire avec le méridien origine, au lieu de l'être avec le méridien local ; d'où le terme soustractif — L), est le problème résolu au § 57.

II". — Autre méthode.

La méthode suivante est peut-être plus sûre, comme utilisant simultanément tous les renseignements dont on dispose. •

On se donne à l'estime le point Z' de latitude l et de longitude L; sa position résulte des déterminations antérieures et de la route parcourue. Il est certainement voisin du point réel (fig. 74).

Avec la formule :

cos 3' = sinZ. sinD + cos/. cosD. cos(.ïI — L),

où D et iîl sont déjà connus, on calcule z' . C'est la distance à l'astre du zénith Z' d'un point voisin du point où nous sommes.

Posons z' — ; = A; A est la distance du point estimé Z' au cercle de hauteur.

Cette distance étant petite, il est facile de calculer sa longueur représentative sur la carte.

Sur la carte, traçons donc la droite Z'QA; prenons dessus la longueur représentative de A;

nous déterminons ainsi le point Q. La perpendiculaire menée par Q à Z Q est la droite de hauteur cherchée.

Il est préférable d'utiliser l'azimut A calculé par la formule : sin A = cos D. sin M — L) : cos II.

Du point Z' reporté sur la carte, on mène la droite Z'Q faisant l'angle A avec le méridien. On prend dessus la longueur ZQ figurative de A. La perpendiculaire menée par Q est la droite de hauteur cherchée.

La supériorité de l'emploi de l'azimut A vient de ce qu'une droite de la carte ne représente pas rigoureusement un grand cercle de la

ISO GÉOGRAPHIE M ATIIÉMATI QV F.

sphère. Pour être correct, il faut joindre les points 7J et A non par une droite (image d'une loxodromie), mais par l'image d'un grand cercle. C'est pourquoi il est préférable de calculer l'azimut A de la direction vraie de l'image du grand cercle au voisinage du point estimé Z'. La droite Z'Q ainsi déterminée ne passe pas exactement par le point A de la carte.