Uc l’équation précédente (i) ' xy = ni
on peut revenir à lequatiou de la courbe rapportée aux axes. Pour résoudre la question , on emploie les formules
x'sin(0 — a) — .y'cos(0 — *) x'sina + y' cos a
sin 0 ’ ^ sin 0 ’
0 étant l’angle des asymptotes , et « l’angle que le nouvel axe des x fait avec le premier. Les valeurs de x et de y étant portées dans l’équation (i) , conduisent à
1* x" sin a sin (9 — a)
-4- x’ y’ [cosa sin (0 — a) — sin a cos (0 — x)]
— y 11 cos x cos (9 — a) = m' sin’0.
Pour que les nouveaux axes soient ceux de l’hyperbole, il faut que le terme en x y' disparaisse. En égalant à zéro le coefficient de ce terme qui renferme l’angle indéterminé a , on a
cos a sin (0 — a) — sin a cos(0 — a) = o,
ou
sin(0 — 2 a) = o,
équation de laquelle on déduit
L’équation (2) devient alors
(3) ■s'3 sin’ - — yn côs7 ^ = ni sin7 9
Pour déterminer les grandeurs des axes , on fera successivement
ce qui donnera
m- sin1 0
m7 sin1 6
cos1 — a ..
ou
, , 6 8 x 7 = 4 m7 cos1 - > y1 — — 4 s'nI ~ »
en remplaçant sin t/ par a sin - cos -•
Si l’on fait
4 m’ ci on obtiendra
6 8 4 »i’ cos1 - = a1, et — 4 m1 sin1 - = — b7, 2 * 2
cos — — -7 — - y sin1 — — ~z — ■ }
en mettant ces valeurs dans l’équation (3) et en observant que
. . 8 6 sin1 6 = 4 sin1 - cos1 - ,
on trouvera facilement
équation de l’hyperbole rapportée à son centre et à ses axes.
180. Si l’on désigne par x', les coordonnées d’un point donné M (fig. 97) de la courbe, l’équation d’une sécante quelconque SMM', passant par ce point et par un point M' ayant pour coordonnées x", y", sera de la forme
Les équations qui expriment que les deux points appar-
DE L HYPERBOLE
tiennent à la courbe sont
en les retranchant l’une de l’autre, il vient x' y' — x" y" =. o,
d’où l’on lire
Ce qui donne pour l’équation de la sécante :
Si l’on veut que cette ligne devienne tangente , on fera et l’on aura
équation qui revient à
lorsqu’on fait disparaître le dénominateur x1 , et qu’on remplace 2 x' y' par 2 m* .
En faisant 7 = 0, dans l’équation (2) de la tangente, on trouve
x — AT'== 7- = 2,r'= 2 AP.
On voit par là: i°. que la sous-tangente PT' est égale à l’abscisse AP du point de contact ; 20. que la portion TT' de tangente comprise entre les asymptotes est divisée en deux parties égales au point de tangence. {Proposition connue, n° 175.)
Revenons à l’équation (1) de la sécante, et faisons y = o, nous aurons
Si l’on mène ML parallèle à AX, les triangles S'M'P', MLS seront égaux , et l’on en déduira
