M' S' = MS

résultat déjà trouvé (n° 175).

«* 181. Prenons le diamètre quelconque D' AD {fig- 98) , et menons les deux cordes supplémentaires MD, MD'. Soient y\ x' , les coordonnées de l’extrémité D; celles de l’autre extrémité D' seront — y', — x1. En nommant^, x, les coordonnées du point M, les coefficients angulaires a, a' des cordes MD, MD', seront respectivement

On aura de plus

xy — m

d’où l’on tire successivement

xy = x y , — = — , = —

y x y-hy' x'-

Donc,

l±iL,

c’est-à-dire que les coefficients d' inclinaison de deux cordes supplémentaires de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes sont égaux et de signes contraires.

182. En représentant toujours par x', y', les coordonnées du point de contact, le coefficient angulaire de la lan-

de l'hyperbole. 267

genle est — —, -, et celui du diamètre mené au point de

contact est —, ; si l’on porte ces valeurs dans la formule

(a' — tilsinô

b 1 -f- aa' [a -+- a') cos 6 on aura (fig. 97)

tang AMT' —

— iy' sin 0

— 2 r' y sin 8

— 2 tri1 sin 0

, tri

en remplaçant y'* par ^;douc,

tang AMT' =

— 2171-x'1 sinO

Pour trouver les points de l’hyperbole où l’angle AMT' est droit, on fait

V — tri = o ;

les valeurs réelles de x' sont ±m, et celles de y' sont aussi ± m. Ces coordonnées déterminent les deux sommets de l’hyperbole.

183. Selon qu’un point est sur l’hyperbole , hors de l’hyperbole, ou dans l’hyperbole, la quantité m * — xy est nulle, positive ou négative; la réciproque est vraie. En effet :

i°. Quand le point est sur la courbe , nv — xy — o ;

- 2°. Quand le point est hors de la courbe , en N (Jig . 98) par exemple, l’abscisse AP étant égale à celle du point M , et l'ordonnée NP étant plus petite que PM, on a

tri — xy ~y> o.

Si le point était situé dans l’un des angles YAX', Y'AX,

les deux coordonnées seraient de signes contraires , cl , par suite, m* — xy serait positif;

3 . Lotsque le point est dans i intérieur de la courbe, en 1 N', l’ordonnce N'P est plus grande que MP, l’abscisse AP est celle du point M, donc

, m} — xy < o.

18t. Si l’on veut mener une tangente par un point extérieur ( x , y") , on observera qu’en représentant par x', y\ les coordonnées du point de contact , l’équation de la tangente est

■T'y -f- y' x — i ni'. ■ .

Pour obtenir les coordonnées x ', y\ on a les équations y" x' ■+■ x" y' = i m7, x' y' — m7.