IN — IM = IN'— IM', MN = M'N
La démonstration ne présenterait pas plus de difficulté si le premier diamètre ne rencontrait pas l’hyperbole.
On déduit de ce qui précède un moyen de décrire une
DE 1, HYPERBOLE
hyperbole quand on connaît les asymptotes et un point M de la courbe.
On mène par ce point une sécante quelconque NMN' que l’on termine aux asymptotes. En prenant N,M,= NM , le point M' appartient à la courbe. On trouve, de cette manière, autant de points qu’011 le veut.
Pour la construction, il est plus commode de ne pas mener toutes les lignes par un seul point M, et de faire servir quelques-uns de ceux qu’on détermine. On évite, ainsi, la confusion qui résulte d’un grand nombre de lignes passant par le même point.
On peut employer le même procédé, quand on connaît deux diamètres conjugués , puisqu’on peut tracer les asymptotes et qu’on a deux points de la courbe.
176. L’équation de l'hyperbole rapportée aux diamètres conjugués BB', GG' [fig- 96) étant
a'' y1 — b,,x,= — a'1 b'3, celle de l’asymptote AN sera
Si l’on désigne par et Y les ordonnées de la courbe et de la droite qui correspondent à la même abscisse AI , on aura
Or,
et
Y — y — NI — MI = MN,
Y -( -y = NI + MI = N'I H- MI = MN'.
Donc, entre les segments MN, MN' de la sécante NN', on a
MN X MN'= Y’ — y,= b"1.
Il est clair que si la sécante était parallèle au diamètre 2«',
2ÔU . » CHAPITRE DIXIÈME.
on trouverai l, tlonième
DO x D'O = a'1.
Par conséquent, lorsqu’une sécante à l'hyperbole est parallèle à un diamètre, le rectangle des parties de cette sécante comprises entre un point de la courbe et les asymptotes est égal au carré de la moitié de ce diamètre. On déduit de là un moyen de trouver deux diamètres conjugués quand on connaît la direction de l’un d’eux AY, les asymptotes et un point de la courbe.
Par le point donné M, on mène, entre les asymptotes, la ligne NMN' parallèle à AY; et le demi-diamètre AG est moyen proportionnel entre MN et MN\
Après avoir trouvé AG, on mène la ligne indéfinie AX , par le centre A, et par le milieu I de NN'; on conduit parallèlement à AX la droite GD coupant l’asymptote AiN en 1). Enfin, on mène parallèlement à AG la droite DR, qu on termine à AX en B; AB est le demi-diamètre conjugué de AG.
I„a même propriété peut servir à déterminer les axes quand on connaît deux diamètres conjugués; car, ou a un point de la courbe, on peut tracer les asymptotes et avoir la r direction des axes en div isant en parties égales les angles des asymptotes. Le reste de la solution n’oflre aucune difficulté.
177. En menant par le point B (Jîg. 9 6) les parallèles BL, BK , aux asymptotes , les deux triangles BAL, BAK , sont égaux. Les triangles BAL,' BLE, sont équivalents, puisque AL = LE. Donc le parallélogramme BLAK est équivalent au triangle AEB. Or, ce dernier triangle est la huitième partie du parallélogramme DED'E', dont la surface est constante quelle que soit la position du point B. Par conséquent, l’aire du parallélogramme formé par les asymptotes de l’hyperbole et par les parallèles menées à ces droites, d’un point quelconque de la courbe , est constante.
OIS L HYPERBOLE
et vaille à la huitième partie du parallélogramme des diamètres conjugués , ou du rectangle des axes.
L' hyperbole rapportée à ses asymptotes.
178. Eu prenant pour axe des abscisses l’asymptote inférieure X'AX (Jig. 97), et pour axe des ordonnées l’asymptote supérieure Y'AY, si d’un point quelconque M de la courbe on mène les coordonnées MP, ML, le parallélogramme APML aura pour surface xy sin 0 , en nommant 0 l’angle des asymptotes ; or, ce parallélogramme est équivalent à — (n° 177) ; on a donc pour équation de l’hyperbole
rapportée aux asymptotes ,
xy sin 0 = — 5
on xy —
ab
2 sin 0
Un peut exprimer sin 0 en fonction des axes. En cflet . si à l’extrémité 15 de l’axe transverse ou élève la perpendiculaire 1>D terminée à l’asymptote Y'AY, celte perpendiculaire sera égale à h ; le triangle rectangle A I5D donnera
sin - 0 — — r 2 y a7
cos - (l — — — —
et comme
011 obtiendra
sin 0 = 2 sin - 0 . cos - fl.
4 ab
2 sin 8 = -y— -r-. ?
rr-t- b 2
On peut voir, par la forme de 1 équation qu’on vient do trouver, que les- axes des coordonnées sont les asymptotes
.S. Ali.y y f'Jj •
■ . 1 * • . t)ig#
2ÜU CHAPITRE DIXIÉME.
de la courbe; car on tire de cette équation
et l’on reconnaît qu'en faisant croître x jusqu’à ± ao , y décroît jusqu’à zéro. 11 en est de même de la valeur de x déduite de celle de y.
Lorsqu’on veut trouver l’équation de l’hyperbole rapportée aux asymptotes en partant de l’équation aux axes :
il faut employer les formules
x = x' cos a ■+■ y' cos a', y = x' sin a -y- y' sin a'.
On doit déterminer les valeurs de sin a , cos a , sin a', cos qui conviennent aux axes qu’on a choisis. Or, si l’on compte toujours les x' sur l’asymptote inférieure AX (Jig . 97) et lesj^' sur l’asymptote supérieure AY, l’angle a! sera YAX^ et l’angle a aura pour valeur 36o° — a'. En élevant au point B la perpendiculaire BD égale à à, le point D sera sur l’asymptote AY, et l’on aura
sin a = — sin a' = —
, cos « —
sja 1 -|- à’
— » COS a = COS a =
y/a!- 1- b7 \Ja7+ b‘
Les formules qui serviront à passer des axes aux asymptotes seront '
En portant ces valeurs dans l’écjuation (1) et supprimant les accents, il viendra
équatjon de l’hyperbole rapportée aux asymptotes.
. ; DE L' HYPERBOLE. a63
Le carré égal à — est nommé puissance de l’hyperbole. Si l’on représente ce carré par wi*, l’équation devient
xy z = ni1.
