I. élimination de y' entre ces deux équations conduit à

Selon que m\—x" y" est positif, nul ou négatif, les valeurs de x' sont réelles et inégales, réelles’ et égales, ou imaginaires ; et le point ( x ", y") est hors de l’hyperbole', ou sur la courbe , ou intérieur. Dans le premier cas , on peut mener deux tangentes; dans le deuxième, une seule.; et dans le troisième, on n’en peut mener aucune.

185. En prenant toujours l’équation xy — m*; én désignant par 0 l’angle des asymptotes , et par x\ y', les coordonnées d’un point de l’hyperbole, l’équation de la norT male est

y cas 6 ■

x cas 0 — j

M * • ■J 'Ôîgitized byjGoogle

DE L HYPERBOLE

ou, en remplaçant y! par sa valeur > , m7 cos 0 — x 7 -,

x'7 cos 0 — m

On pourra , d’après ce qui précède , déterminer les normales qui passent par un point extérieur donné.

Quadrature de l'hyperbole.

186. Considérons d’abord l’hyperbole équilatère dont la puissance est l’unité; l’équation de la courbe rapportée à ses asymptotes sera

xy = i .

En prenant l’abscisse AC = i [fig- 99), et une abscisse quelconque AP = x , nous allons évaluer la surface BCPM comprise entre l’hyperbole, l’asymptote AX, et les ordonnées BC, MP. Après avoir divisé CP en un nombre quelconque de parties, élevons aux points de division les ordonnées C'B', C" B", etc., et construisons les rectangles BCC'D, B'C'C"D', etc.

Lorsque les distances CC', C'C", etc., diminuent, la somme des rectangles va en décroissant , et se rapproche de l’aire BCMP qui est la limite de celte somme de rectangles; c’est donc cette limite qu’il faut déterminer.

Les abscisses