AC', AC
AP
étant désignées par
les ordonnées sont
rectangle CBDC' = CC'X CB = (*' — 1) X 1 = (*'—>)» rectangle G B' IV C’ — G’ C" X C B' = ( x x ) X — -p 1 ,
rectangle C" B" B" CW=C" C'"X C" B"=(x"'-x") XpSp-V
et ainsi de suite.
Les points C', C", etc., pouvant être pris tout à fait arbitrairement, il est permis de supposer les abscisses 1 , x , xfi x"1, etc., en progression géométrique; comme le premier terme est 1 et le second x\ la raison sera x', et l’on aura
x"=.x'\ x"’=x,3,elc.
De sorte que si l’on suppose qu’il y ait n divisions de C en P, on a pour la dernière abscisse x = x,n, et tous les rectangles sont égaux a x 1 .
En ajoutant d’abord les deux premiers, ensuite les trois premiers , puis les quatre premiers , et procédant toujours de la même manière , les sommes seront
2(y-i), 3(.r'-i), 4(^-i). etc.
Alors, les abscisses étant
1, x'\ *V'*-î x'n ou x>
les espaces rectangulaires compris entre la première ordonnée CB et chacune des ordonnées CB, C'B', etc., seront
On écrit o parce que l’on considère la surface comprise entre BC et cette ordonnée elle-même.
On voit que les abscisses forment une progression géométrique commençant par 1 unité, et les aires correspondantes, une progression arithmétique qui commence par
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DE L HYPERBOLE
zéro. Il résulte delà que les aires rectangulaires comprises entre BC et les ordonnées BC, B'C', etc., sont les logarithmes des abscisses auxquelles correspondent ces ordonnées. .
Cette proposition étant indépendante du nombre des di- " visions 'faites sur CP, doit être vraie dans le cas où ce nombre çst infini ; c’est-à-dire dans le cas où, au lieu de passer du point C au point P par un nombre fini d’abscisses, on passerait par toutes les abscisses intermédiaires. Mais, comme alors les aires rectangulaires ne seraient autre chose que les aires hyperboliques , comprises entre CB et les ordonnées correspondantes à ces abscisses, on est conduit au théorème suivant :
Les aires hyperboliques telles que BCMP, sont les logarithmes des abscisses correspondantes AP.
Il faut actuellement déterminer la base du système dans lequel se prennent ces logarithmes ; ce qui revient à trouver un nombre tel , qu’en l’élevant à la puissance marquée par l’une de ces aires , on ait pour résultat l’abscisse correspondante.
Si l’on reprend, dans les progressions précédentes, les v termes correspondants x et n(x' — i), dont le second représente la somme des rectangles compris entre BC et MP, en faisant n = oo , cette somme doit devenir égale à l’espace hyperbolique BCMP. On posera donc
(i) Enix'-‘)=.r, ou En(v'x-,)=X>
et l’on cherchera la valeur de E qui répond à la valeur n — oc . On aura de cette manière la base demandée.
Cette valeur de E devant être indépendante de X, on choisira pour x la valeur qui rend l’exposant de E égal à i , . lorsqu’on fait n = oo . Or, l’équation
CHAHTUK DIXIEME.
donne
en développant cette puissance, on obtient
On démontre en algèbre que celte valeur de x , lorsque n augmente indéfiniment, se rapproche de plus en plus de
et qu’on peut donner à n une valeur assez grande pour que la difiérence des valeurs de x déterminées par les formules ( 2) et (3) devienne moindreque tout nombre donné, quelque petit qu’il soit. Par conséquent, x est la limite de la série convergente représentée par le second membre de l’équation (3); cette limite comprise entre 2 et 3 a une valeur incommensurable qui peut être obtenue à tel degré d’approximation qu’on voudra ; on la représente pare, ainsi c’est le nombre c qui est la base du système dans lequel il faut prendre les logarithmes des abscisses AP pour avoir les aires hyperboliques telles que BCPM.
Ces logarithmes sont ceux que Néper, inventeur des logarithmes, considéra d’abord; et on leur donne, pour cette raison, le nom de népériens. Nous les désignerons par la lettre /, et nous écrirons conséquemment
aire BCPM ~ tx.
La formule précédente donne aussi les aires qui répon
. UE l’hyperbole. 373
dent aux abscisses moindres que AC , pourvu que l’on regarde comme négatives les aires qui, comme HCBG, sont situées à gauche de BC. En effet, si l’on mène les perpendiculaires BL, GK sur AY, on aura BGK.L = ly,
puisque tout est semblable pour chaque asymptote. Or, BGHC = BLAC -t- BGK.L — KGHA ; et, à cause de xy = 1 , on a
BLAC = KGHA;
donc. ,
BGHC = BGKL = logj = log - = — logx.
O11 n’a considéré jusqu’ «à présent que l’hyperbole équilatère représentée par l’équation
xy = 1.
Supposons généralement que les asymptotes fassent entre elles un angle YAX égal 0 ( fig . 100), et qu’on ait l’équation
xy — /n1.
Après avoir mené A Y' perpendiculaire sur AX, concevons qu’on ait décrit, en prenant les asymptotes rectangulaires AX, AY', l’hyperbole équilatère qui a pour équation
xy = 1 .
Soient AC = 1 et AP = x ; si l’on mène les ordonnées correspondantes des deux hyperboles, et si l’on représente par S et s les surfaces BCPM, li'CPM', 011 démontrera facilement, par un raisonnement semblable à celui du n° I (page 225) , que
S rn1 sin 0 , . „ .
— = » fl ou S — /«• sin 0 . læ.
Il est permis de regarder la surface S comme étant le logarithme de x, mais il faut alors prendre les logarithmes dans un système qui aurait pour module m* sin 0.
DE LA PARABOLE
Parabole rapportée à son axe.
187. En prenant des axes rectangulaires et en exécutant une double transformation de coordonnées, on a vu (n° 99) que l’équation d’une parabole peut toujours se ramener à la forme
(l) jr’=2px.
Dans l’examen des propriétés de cette courbe, il est permis de supposer p positif; car, si l’on avait
il suffirait de compter dans un sens opposé les x positifs, pour changer cette équation en
y*— 0. px.
On voit immédiatement, par cette équation, que l’origine est un point de la courbe , puisque x — o donne y = o. La même équation prouve encore que la ligne des x est un axe de la courbe ; car, pour chaque abscisse on a deux ordonnées égales et de signes contraires, et les coordonnées sont rectangulaires. Cet axe est le seul qui existe dans la parabole.
L’équation (i) conduisant à y = ± va px , on reconnaît sur-le-champ que la courbe ne s’étend pas du côté des x négatifs, puisque x négatif rend y imaginaire. Si x augmente de zéro à -+- oo , y croît aussi jusqu’à dr «o ; donc, la
. DE LA PARABOLE. uy5
parabole s’étend à partir de l’origine jusqu’à l’infini, d’une manière symétrique au-dessus et au-dessous"de l’axe des x. On sait déjà qu’elle doit toujours être concave vers cet axe, comme l’indique la fig. ioi.- ,
La parabole n’a qu’un sommet qui est le point A (Jig- ioi) où elle est rencontrée par son axe Le coefficient , 2 p de x, par lequel une parabole diffère d’une autre parabole, est nommé paramètre. D’après l’équation de la courbe, le rapport du carré de l’ordonnée à l’abstissc correspondante étant constant, il en résulte que dans la parabole les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe sont entre eux comme les distances du sommet aux pieds de ces ordonnées .
188. Lorsqu’un point est sur la parabole, on a entre ses coordonnées la relation -jr* — i px — o . Si l’on prend un point extérieur H ( Jig . ioi), et qu’on mène sur AX la perpendiculaire HP, qui rencontre la parabole en M, l’ordonnée du point H étant pins grande que celle /lu p»int M, on devra avoir
X1— 2/JX>0.
On démontrerait de
intérieur H', on a On* a donc . .
sur la parabole; hors de la parabole; dans la parabole.
189. L’équation, y'=2px, de la parabole permet de décrire la courbe de la manière suivante : Après avoir pris une abscisse AP {Jig . iqi) , on porte à gauche du sommet,
la meme manière que pour un point
jr* — f.px <[ O.
y 1 — 2px ■■= o ,
a 76 chApitbe -onzième.
sur l’axe , une longueur AG =^2 p\ sur GP comme diamètre, on décrit une demi -circonférence qui rencontre l’axe AY au point D.,On élève au point P l’ordonnée PM qu’on termine à la droite DM parallèle à AX. Le point M appartient à la parabole. En effet , on a par construction :
PM =; AI) , Âd’= AÔ X AP, et , par conséquent ,
PM = 2p. AP.
190. On a vu que, dans le cas où l’équation du second degré représente une courbe, cette courbe a un centre déterminé par les équations
2 A b -f- B a 4* D ~ o , 2 C ti 4 B b —4 b « o ,
si B* — 4 AC est différent de zéro. Mais , lorsque Bs — 4 AC est égal à zéro, le centre est situé à l’infini. Nous allons faire voir directement qu’on peut regarder la parabole commomne .ellipse , ou une hyperbole, dont le grand axe, ou l’axe transverse, est infiniment allongé.
Prenons l’équation — x*) , d’une ellipse
dont un des sommets A (fig. 102) est à l’origine. La distance
AP’ égale a — s/a' — b*. Appelons ^ cette. distance, nous aurons
- — a — \Ja‘ — b1,
équation d’où l’on tire
et , par conséquent ,
Actuellement, si l’on suppose que les points A, F, restant
DE LA PARABOLE. 277
lî$es, l’axe a a augmente, on trouvera une suite d’ellipses d(Mit les ordonnées tendront vers celles de la parabole SAS' ’ ( fig . 102), représentée par l’équation
puisque les termes i — > convergeront vers zéro. Doue,
la parabole SAS' est la limite des ellipses qui ont un même sommet A , et un même foyer F.
Si l’on construit de même une suite d’hyperboles ayant A pour sommet et F pour foyer, et dont le centre, situé du côté des abscisses négatives , s’éloigne de plus en plus de l’origine, on trouvera encore que ces hyperboles ont pour limite la parabole SAS'.
On pourra donc dire que la parabole est une ellipse , ou une hyperbole, dont le grand axe , ou l’axe transverse , est infini. f
Du foyer et de lu directrice.
191 . Les coordonnées étant rectangulaires, et l’équation de la parabole étant y*= 2 px, on nomme Joyer un point dont la distance à un point quelconque de la parabole est une fonction rationnelle de l’abscisse de ce dernier point.
Si l’on considère une suite d’ellipses ayant un sommet A {fig. 102) et un foyer F communs, la distance de ce foyer à un point quelconque M , de chacune de ces courbes, sera une fonction rationnelle de l’abscissç OP comptée à partir du centre, et sera aussi une fonction rationnelle de l’abscisse AP comptée à partir du sommet, puisque OP = AP — AO. Or, la parabole est la limite de toutes ces ellipses, la distance du point F à chaque point de cette courbe sera donc une fonction rationnelle de l’abscisse de ce point. D’une autre part , AF est représentée pajr •
~t et le paramètre de la parabole est a p ■ cette coilrbe a donc
un foyer situé sur son axe à une distance du sommet égale au quart du paramètre.
192. Pour déterminer directement le foyer de la para- • bolc , on peut opérer comme pour les deux autres courbes .; Désignant par x', y\ les coordonnées du foyer demandé; par x, y , celles d’un point quelconque de la parabole, et par â la distance de ces deux points , on aura
3> = (x~x’y+(y-y'y ~ jr1 — a x' x -+- x'’ -+- y7 — 2 y' y + y'1.
De l’équation de la parabole , on tire
ce qui conduit à
S'1 — x' — 2 x’ x -1- x'1 -f- 2 px -t- y' 2 px ■+■ /'*,
Donc, pour que d1 soit une fonction rationnelle de X, il faut quejy'= o; supposition qui donne
S1 — x' 2x'x -f. x'-'-f- 2 px — X2 -J- 2 [p — x') x H- x'!.
Comme d doit être une fonction rationnelle de x, il faut qu’on ait
d’où I on tire
Il résulte de là que la parabole n'a qu’un foyer situé sur l’axe à une distance du sommet, égale au quart du paramètre. f •
11)3. En remplaçant x[ par on a
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DE LA PARABOLE
Si l’on prend AB = ÂF = ^ (.fig- tôt), et qu’on élève BL
perpendiculaire sur BX , le point F« sera le foyer de la parabole, et BL en sera la directrice. Ensuite, si l’on mène d’un point quelconque, M, de cette courbe, le rayon vecteur FM , et les perpendiculaires MP, MI sur AX et BL , on aura
FM = jr 4- - = AP + AB = MI.
D'où il résulte que chaque point de la parabole est également éloigné du foyer et de la directrice.
Quand un point N est extérieur à la parabole , en menant NI, perpendiculaire à la directrice, et prolongeant NI jusqu’à sa rencontre M avec la courbe, si l’on joint le foyer F aux points M , N ; on aura
NF 4- NM > MF et MF = MI = NI 4- NM ;
NF4- NM >NI 4- NM, ou NF > NI.
Pour un point intérieur N', on a
