N' F < N' M 4- MF

Or,

N' M + MF = N' M 4- MI = N' I ; par conséquent,

Donc, selon qu'un point est sur la parabole , ou hors de la courbe, ou intérieur à la courbe, sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice, ou plus grande, ou plus petite.

194. On peut facilement construire une parabole dont on connaît le paramètre i p. Après avoir pris AB = AF=^ ( fig . toi) , on mène la directrice BL , et , par un point quel-

conque P de l’axe , on élève la perpendiculaire PH ; puis , du point F comme centre, avec BP pour rayon, on décrit un arc de cercle qui *coupe PH aux points M et M' ; ces points appartiennent à la parabole, puisqu’ils sont également distants du foyer F et de la directrice BL.

Pour décrire la parabole d'un mouvement continu , on place contre la directrice BL une équerre mobile EQR ; on prend un fil d’une longueur égale à QR, en attachant une de ses extrémités en R, et l’autre au foyer F. Si l’on tend ce fil par le moyen d’un style appliqué contre QR , et si l’on fait glisser l’équerre le long de la directrice, le style décrira la parabole. En effet, on aura toujours

d’où

FC -f- CR = QC -f- CR, FC = QC.

Donc , le point C appartient à la parabole.

195. La propriété dont jouit la parabole, d’avoir chacun de ses points également distant du foyer et de la directrice, caractérise cette courbe. Pour le prouver, nous résoudrons le problème suivant :

Trouver une courbe telle, que chacun' de ses points soit également distant (T un point donné F et d'une droite donnée BL (fig. 101).

Menons FBX perpendiculaire à BL, et, par le point A milieu de FB, élevons AY perpendiculaire à AX. La courbe demandée sera symétrique par rapport à AX, et passera par le point A. Pour cette raison , nous prendrons les lignes AX, A Y, pour axes des coordonnées. Soient M un point quelconque de la courbe-, AP son abscisse-, MP son ordonnée. Menons la perpendiculaire MI sur BL, et faisons

AF = ^, W^x, MP — y.

DE LA PARABOLE. , 28l

Nous aurons

MF =± .r’-t- — 2 j ’ ct MI=X + ^-

Comme il faut que MF = Ml , il viendra

d’où l’on tire, toutes simplifications faites ,

y'=z2.px.

Nous ferons remarquer que cette question est le cas du problème (n° 112, page 180) où l'bn suppose m = n.

De la tangente et de la normale.

19fi. En menant une sécante par deux points ayant pour coordonnées x\ y'\ xff, y", l’équation de cette sécante sera de Hl forme

si I on exprime que les deux points sont sur la courbe, eu écrivant

011 aura d’abord

d’où

et, par suite,

j'* = 2 px\ y "* = 2 px", y'7 — y'1 = ip (x' — x"),

y— y" zp

pour l’équation de la sécante.

r.orsquc le second point sc confond avec le premier, on a

•r.C-k; • ’ jj.

Oig flz

'x0- ..«AA,

la sécante devient tangente, et l’on obtient pour équation de cette dernière droite,

ou, en observant que jy'* = 2 px',

Si l’on double les. deux membres de cette dernière équation , et si on la retranche de l’équation y'1 = 2 px1,- on a

y’* — 2 y y — — ayzr;

en ajoutant y* de part et d’autre , il vient

(y —yy=y— *px.

La quantité y* — 2 px restant positive pour tous les points de la tangente, excepté pour celui dont l’ordonnée csty', il en résulte que tous ces points sont extérieurs à la parabole.

Si l’on représente par a le coefficient angulaire de la tangente, on a

L'hypothèse y' — o donne

« = qo ;

donc , la tangente au sommet est perpendiculaire à l’axe. .

Si l’on fait croître y' jusqu’à l’infini positif, a. décroît jusqu’à zéro. Donc, la tangente approche de plus en plus de devenir parallèle à l’axe.

197. Pour déterminer le point T (Jig. io3) où la tangente rencontre l’axe des x , il faut faire y — o, dans l’équation de cette ligne, ce qui donne

On voit par là que le point T est du côté des abscisses né-

r>E LA PARABOLE. '

gatives, à une distance AT de l’origine, égale à l’abscisse AP du point de contact. On reconnaît, de même, que la soustangente PT = 2 x . Donc, dans la parabole , la sous-tangente est double de l’abscisse du point de tangence. Ce qui fournit une construction simple de la tangente.

198. Si 1 ’on veut mener une tangente par un point extérieur ayant pour coordonnées x" , on remarquera que l’équation de la ligne cherchée est

x',y', étant les coordonnées du point de contact. Pour trouver ces coordonnées, on exprimera : i". que le point x', y\ •est sur la courbe; a”, que la tangente passe par le point qui a pour coordonnées ,r", y". On sera conduit aux deux équations

ÿ'—ipx', = r'-t-x"),

•desquelles on tirera facilement

f=y"±\lr"'-*pxH

y"1 — px"±y" \}ÿ"1— a px" l>

Ces valeurs substituées dans l’équation y' y = p (x -4- x'} résoudraient le problème proposé.

Lorsque le point donné est hors de la parabole , la quantité y "* — ipx" est positive, et les deux valeurs dey' sont réelles et inégales , ainsi que celles de x'. Il y a alors deux tangentes.

Quand le point donné est sur la courbe , les deux valeurs de x' se réduisent à une seule , aussi bien que celles de y', et il n’y a plus qu’une seule tangente.

Enfin, quand le poiut donné est intérieur, les valeurs •de x' et de y' étant imaginaires , il n’existe plus de tangente.