UE LA 1M11AB0LE
L’élimination de x' entre les équations (i) et (a) conduit à (3) /t+ap(p — x")jr'—2p-/’ = o.
L’équation. (3) doit avoir une racine réelle de même signe que j", et par conséquent le problème a au moins une solution.
Si le point donné était sur l’axe, on aurait
l’équation (3) deviendrait alors
elle aurait une racine nulle, à laquelle correspondrait une valeur nulle pour x1 ; le point ainsi déterminé serait le sommet de la parabole , et, par conséquent, on aurait pour normale l’axe de cette courbe.
En divisant la dernière équation par y', on en déduirait ensuite
Si la différence x" — /> était positive, on aurait deux autres solutions du problème.
On voit facilement que quand x" — p est nulle ou négative, l’équation ne fournit que la première solution trouvée -, c’est-à-dire qu’on ne peut mener qu’une seule normale.
En regardant x',y', comme des variables dans les équations (i) et (a) , on voit que la seconde représente la parabole donnée, et l’autre une hyperbole passant par le point N'. L’équation de cette hyperbole revient à
*,S-htp-x")S-pj"= o;
la courbe a pour asymptotes l’axe des x, cl une parallèle à l’axe des j dont l’équation est
La construction de l’hyperbole n’offre aucune difficulté, puisqu on a les asymptotes et un point.
Le nombre des solutions du problème proposé est égal • au nombre des points communs aux deux courbes.
201 . Le point F (Jlg. io3 ) étant le foyer de la parabole, 011 a vu que AF = ^> et FM = x -h — • Pour la tangente MT au point M , 011 a reconnu que AT = x\ par conséquent, TF = #-+- ^ ; donc FM = TF, et, par suite, l’angle
TMF = FTM. 11 résulte de là que dans la parabole, la tangente fait des angles égaux avec l’axe, et avec le rayon vecteur mené au point de contact.
En menant une parallèle MK à l’axe, l’angle
R MK = MTF = FMT.
On peut donc encore dire que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et avec la parallèle à F axe , menée par le point de contact.
On reconnaît ici un théorème analogue à celui du n° 121 , et qui devait résulter de ce que la parabole est une ellipse dont un des foyers est situé à l’infini.
On déduit de ce qui précède un moyen de mener une tangente à la parabole par un point donné.
Supposons d’abord que ce point soit en M (Jig* io3) sur la courbe. On conduira le rayon vecteur FM, on prendra FT = FM, et l’on mènera la ligne MT qui sera la tangente demandée.
Pour démontrer à posteriori que la ligne MT est tangente, on mène MG parallèle à Taxe jusqu’à la rencontre de la directrice en G ; on joint ce dernier point au point F. Par la nature de la courbe, ou a
