IF X 111 AH X CH BI X IE “ BH X EH

Cette égalité donne IF; et, par suite, le point F. En ' menant DG parallèle à BE, on trouvera le point G par la relation

PG X DP BH X EH AP X CP — An X ch'

Si l’on joint le milieu M de AC au milieu N de DF, la ligne Mi\ sera un diamètre. On aura un autre diamètre KL en faisant passer une droite par les milieux K et L des cordes parallèles BE et DG. Lorsque les diamètres MN et KL se couperont, la courbe sera une ellipse ou une hyperbole ayant pour centre le point de rencontre O de ces diamètres.

On peut, dans ce cas, déterminer la position et les longueurs de deux diamètres conjugués. En elFet, supposons que les diamètres KL et MIN soient conjugués et que la courbe soit une ellipse; pour déterminer leurs longueurs

QUESTIONS RELATt V ES AUX COURBES DU 2* DEGRÉ. doi

que nous désignerons par ia' et 2 b\ on aura a" Ali X HC b* ~ BHX HE et

a" X BR3 4- b'1 X ÔK*= a'- bn\

d’où

afî — * — *

^ X BK + OK = a".

On pourra donc trouvera'*, et, par suite, £>'*.

Si les diamètres MN et KL ne sont pas conjugués, on aura la position du diamètre conjugué de KL, en menant par le centre une parallèle à BE. On mènera par le point C une parallèle à KL, et on la prolongera d’une longueur égale, de l’autre côté du diamètre conjugué; l’extrémité de cette longueur sera un point de la courbe : on rentre, ainsi , dans le cas précédent.

Pour que la question soit possible, il faut que, parmi les cinq points, il ne s’en trouve pas trois en ligne droite.

Parabole. — Construire une parabole, connaissant quatre points de la courbe.

Soient A, B, C, D ( Jig . 109), les quatre points donnés. Supposons que les droites AB et CD concourent au point R, et qu’on ait mené les tangentes SM et SN parallèles à ces droites. Par le théorème de Newton, on a

SM RA X RB ^“RCXRÜ

Prenons sur RB et RD deux points G et H, de telle manière que

Rg’=RAXRB et RH = RCxRD; en substituant, il viendra

SM* RG*

3oa

d’où

SM