RT = RT
Les tangentes RT, RT , étant égales, leur point de concours sera sur un axe de la courbe, et de plus elles formeront avec cet axe des angles TRA, T'RA égaux eutre eux. Par conséquent, les cordes CD, C'D', font aussi avec l’axe AA', des angles égaux.
Il en résulte que , si par deux points C, D, donnés sur une courbe du second degré, on fait passer différentes circonférences telles que CDC'D', qui coupent chacune la courbe en deux autres points, les cordes déterminées par ces derniers points seront parallèles entre elles.
Si l’on suppose que les deux points d’intersection donnés,
3o4 ' CHAPITRE DOUZIÈME.
C, D, se réduisent à un seul T; les circonférences toucheront la courbe en ce point : d’où il faut conclure que , si l'on décrit différentes circonjérences tangentes à une courbe du second degré en un point donné T, et qui coupent , chacune, cette courbe en deux autres points C', D' : les cordes correspondantes à ces derniers points seront parallèles entre elles.
Concevons, maintenant, que la corde C'D' restant parallèle à la tangente T'R, s’approche de plus en plus du point de tangence T. Les circonférences qui passent par les points C', D', T, restent tangentes à la courbe au point T, et la coupent en deux autres points C', D'; l’un de ces points, D', se rapproche continuellement de T. Lorsque le point D' coïncide avec T, le point C' coïncide avec l'extrémité M delà corde TM, menée par le point T parallèlement à T'R. Alors, la circonférence est considérée comme ayant avec la courbe du second degré trois points communs .qui se confondent en un seul , T ; le quatrième point commun à ces deux courbes est le point M. Dans ce cas particulier, on dit que le cercle est osculaleur à la courbe considérée, au point T, et le rayon de ce cercle est le rayon de courbure de la ligne dont il s’agit , au point J.
Pour déterminer lé centre E du cercle osculateur au point T, on mènera par ce point la corde TM parallèle à T'R; puis , on élèvera au milieu G de TM , une perpendiculaire à cette corde , et au point T, une perpendiculaire à la tangente TR : le point d’intersection E de ces deux perpendiculaires sera le centre du cercle oscillateur. La droite ET sera le rayon de courbure.
214. Hexagone de Pascal. — Lorsqu’on prolonge deux à deux les côtés opposés d’un hexagone inscrit à une courbe du second degré , les trois points de concours sont, en ligne droite.
QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES DU 2' DEGRÉ. 3o5 Soient
y — ax — b — o et y — a'x — h' — o
les équations des droites AB et DC (fig- 1 1 2) ; si l’on multiplie par ordre ces deux équations, on aura une équation du second dégré ,
(!) j'I+Bjty4-CÆ’ + D/+Ex + F= o,
qui sera celle du système des deux droites AB et DC.
On obtiendra une équation de la même forme
pour le système des droites AF et DE.
Soit
l’équation de la courbe.
J/axe des y passant par les points A et 1), on aura D = D'=:D" et F = F' = F".
En effet , si l’on suppose x — o dans chacune des équations (1), (2), (3), on obtiendra trois équations en y :
y*+ Dy 4F =0, y>4D'/4F'=o, y2 4- D"/ 4- F" = o ,
qui auront, chacune, pour racines OD et OA.
En soustrayant l’une de l’autre lès équatioas (3) et (1), on trouve une équation qui doit être vérifiée par les valeurs des coordonnées des points A , D , C et B, et qui est
x[(B — B")/4(C — C")x-t-E — E"]= o; elle se décompose en
(4) x=o et (B — B')y4 (C — C")x 4- E — E" = o.
Cette dernière équation est celle de la droite BC, puisqu'elle
3o6 CHAPITRE DOUZIÈME,
est du premier degré et doit être satisfaite par les coordonnées des points B et C.
Si l’on retranche de même les équations (3) et (2), il viendra
x[(B'- B")/+(<r — C")x-f-E'— E"] = 0, qui se décompose en
(5) je — o et (B' — B")/-l- (C' — C")x + E' — E' = o.
Cette dernière est l’équation de EF.
Les valeurs des coordonnées du point de concours, N , des droites BCel FE doivent satisfaire à l’équation
qu’on obtient en retranchant l’une de l’autre les équations (5) et (4). Mais, si l’on soustrait l’une de l’autre les équations (2) et (1), on a
équation qui se décompose en
x — o et ^B — -h ( C — C )x + E — E* — o.
Celte dernière doit être satisfaite par les valeurs des coordonnées du point de rencontre, P, des droites AB et ED , et aussi par les valeurs des coordonnées du point de rencontre, M, des droites AF et CD. Elle est donc l’équation de la droite qui joint ces deux points de rencontre ; or, elle n’est autre que l’équation (6).
Par conséquent, les trois points de concours N, P, M, sont en ligne droite.
215. Pentagone inscrit. — Soient A,B,C,D, E (Jîg. 1 13) cinq points d’une courbe du second ordre. Supposons qu’on joigne ces points deux à deux par les droites AB , BC , CD , DE , et que par le point A on mène une droite quelconque AK. On pourra considérer cette droite comme
QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES DU 2e' DEGRÉ. 3o7 une sécante, rencontrant la courbe en un point G, qui sera le sixième sommet d’un hexagone inscrit dont les cinq autres sommets sont les points donnés. Par conséquent, si l’on prolonge AB et ED jusqu’à leur rencontre en M , et DC jusqu à son point d’intersection N avec AK, qu’on tire la droite MN : en joignant au point Ele point de rencontre P de BC avec MN, la droite PE coupera la droite AK au point G qui appartient à la courbe; car, si le point de rencontre de AK avec PE était un point H autre que G, le point d’intersection des côtés GE et BC ne serait pas en ligne droite avec les points M et N.
On pourra, de cette manière, déterminer autant de points qu’on voudra de la courbe, lorsqu’on en connaîtra cinq; et si l’ou fait mouvoir la droite MN autour du point M, les droites NG et PG tourneront autour des points A et E, et leur point de concours G décrira la courbe.
Tangente. — Soient ABCDE (fig- * 1 4 ) un pentagone inscrit à une courbe du second ordre, et F un point de la courbe placé entre A et E; si l’on suppose que le point F se rapproche continuellement du point A , et vienne se confondre avec lui , la corde AF, à cette limite, sera tangente à la courbe au point A , et le côté EF se confondra avec EA. Par conséquent, si l’on détermine le point de concours, M , des côtés AB et DE , et le point de rencontre, N, de BC et du côté opposé EF confondu avec E A , qu’on tire la droite MN , le point d’intersection , P, de CD avec MN sera aussi le point d’intersection de CD et du côté opposé FA, devenu tangent au point A.
Donc, la droite RT qui passe par les points P et A sera tangente à la courbe au point A.
216. Construire une courbe du second ordre dont on donne cinq points.
Soient A, B, C, D, E (fig- ri 5) les points donnés. On
construira le pentagone ABCDE,et l’on pourra déterminer les tangentes à la courbe aux différents sommets de ce pentagone. Cou sidérons les tangentes aux trois sommets E, A, B. Lorsque la courbe sera une ellipse ou une hyperbole, ou trouvera le centre en traçant les diamètres KO et FO, relatifs aux cordes EA et AB, et en les prolongeant jusqu’à leur point de concours O. Si l’on tire le rayon OA et qu’on le prolonge d’une longueur égale OL, en menant par le point L uric parallèle LT à KF, la droite LT sera tangente au point L. Le diamètre conjugué de OA sera dirigé suivant la droite OM, menée par le centre parallèlement à KF. Pour avoir la longueur de la moitié, OM, de ce diamètre, on prolongera LT jusqu’à sa rencontre en R avec KE, et on prendra une moyenne proportionnelle entre RL et AK (*). On connaîtra donc de grandeur et de position deux diamètres conjugués de la courbe.
On ferait la même construction pour l’hyperbole. Si les diamètres menés par les points F et K sont parallèles, la courbe sera une parabole, et l’on pourra la construire,
(*) Si Von mène deux tangentes ST cl S' T' {fig. n(>) par les extrémités d’un diamètre AA' de l'ellipse, le produit des serments AM, A'M', de ces tangentes, compris entre les points A et A' et une troisième tangente, M\W, ofctégal au carré de la moitié du diamètre conjugué de AA'. En effet, soient 9. a' et 2 b ' les longueurs des diamètres AA' et BB' ; en rapportant la courba à ces deux diamètres, et en prenant le premier pour axe desx, l’cquatinu de la tangente M' M sera
a,xy’ y -4- h,% x' x = a'1 b,%.
Pour x = a\ on aura
