AM X A' M

La mime propriété existe pour l'hyperbole

QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES 01! 2* DEGRÉ. 3oQ

puisque l’on connaîtra la direction des diamètres et trois points.

Remarque. ■ — Pour que le problème énoncé soit possible, il faut que parmi les cinq points donnés il ne s’en trouve pas trois eu ligne droite.

217. Quadrilatère inscrit. — Si l’on suppose que deux couples de sommets d'un hexagone inscrit (fig . 112) se réunissent en uu seul, on aura un quadrilatère inscrit et deux tangentes menées par deux sommets. Ces deux sommets peuvent être adjacents, ou opposés. Dans le premier cas, on a le théorème suivant:

Si par deux sommets adjacents d'un quadrilatère inscrit à une courbe du second ordre, on mène des tangentes à celle courbe, les points de concours de chacune de ces tangentes avec le côté adjacent au sommet par lequel passe l’autre tangente , et te point de concours des deux autres côtés, seront trois points en ligne droite.

Dans le second cas , c’est-à-dire quand les tangentes sont menées par deux sommets opposés, on a ce théorème : Dans tout quadrilatère inscrit à une courbe du second ordre , les points de concours îles côtés opposés, et le point, de concours de deux tangentes menées par deux sommets opposés , sont trois points en ligne droite.

218. Triangle inscrit. — On peut supposer que trois des côtés de l'hexagone inscrit deviennent des tangentes-, il en résultera un triangle inscrit et trois tangentes menées par les sommets de ce triangle ; et par conséquent , on aura encore le théorème suivant :

Si deux triangles sont, l’un inscrit et l'autre circonscrit à une courbe du second ordre, de telle sorte que les points de contact de l'un soient les sommets de l’autre, les trois points de concours des côtés opposés de ces triangles sont sur la mente ligne droite.

3lO

219. Hexagone de Brianchon. — Les trois diagonales qui joignent les sommets des angles opposés d'un hexagone circonscrit à une courbe du second degré, se coupent au même point.

Si du sommet A ( fig . 117) on mène une sécante à la courbe , et que par les points de rencontre on conduise des tangentes, ces tangentes se couperont en un point de la corde des contacts GH des côtés AB, AF. Il en sera de même pour le point D; par conséquent, si par les points de rencontre de AD avec la courbe on mène deux tangentes, ces ligues se couperont en un point situé à la fois sur la corde des contacts GH des tangentes AB, AF, et sur la corde des contacts G' H' des tangentes DC, DE; ce point sera donc le point de concours de deux côtés opposés de l’hexagone inscrit à la courbe et formé en joignant , deux à deux , chaque point de contact au suivant. Ea diagonale BE sera, de même, dirigée suivant la corde des contacts de deux tangentes menées à la courbe par le point de concours de deux autres côtés opposés de l’hexagone inscrit. Enfin la diagonale CF sera dirigée suivant la corde des contacts de deux tangentes menées du point de concours des côtés formant le troisième couple de côtés opposés de l’hexagone inscrit. Les trois diagonales se confondent donc avec les cordes de contact de trois couples de tangentes menées de trois point» situés en ligne droite. Or, on sait que, si des différents points d’une droite on mène des tangentes à une courbe du second degré, les cordes de contact passent toutes par un même point; par conséquent , les diagonales de l’hexagone circonseri t doivent se couper au même point.

220. Pentagone circonscrit. — Soit ABCDE (fig. 118) un pentagone circonscrit à une courbe du second ordre ,• on pourra déterminer le point, de contact de chacun des côtés avec la courbe.

questions relatives aux courbes du a* degré. 3ii En effet , soit I le point de contact du côté EA ; concevons une sixième tangente FG, dont le point de contact H soit situé entre les points de contact I et K des côtés AE et AB, et supposons que cette tangente se meuve de manière que le point de contact H se rapproche continuellement du point I, et vienne enfin se confondre avec lui. Le sommet F et le point II se confondront en même temps avec le point I , et le sommet G se placera sur le point A. Les diagonales GD et FC viendront coïncider avec la diagonale ADet la droite IC. Par conséquent, pour déterminer le point de contact d’un côté AE du pentagone circonscrit, il faudra joindre chacune des extrémités de ce côté au sommet voisin de l’autre extrémité; puis, le point d’intersection de ces diagonales au cinquième sommet C : le point de rencontre de cette ligne de jonction et du côté AE sera le point de contact de AE. On pourra donc, si l’on donne cinq tangentes «à une courbe du second ordre, déterminer le point de contact de chaque tangente, et par suite trouver un système de diamètres conjugués, si la courbe est une ellipse ou une hyperbole; et si la courbe est une parabole, construire celle courbe après avoir déterminé, soit la direction des diamètres, soit le foyer.

221. Quadrilatère circonscrit. — Eu supposant que deux côtés adjacents de l'hexagone circonscrit se confondent en un seul , les deux points de contact et le sommet intermédiaire se réunissent en un seul point, et l’angle de ces côtés devient égal à deux droits. Si l’on suppose que l’angle opposé de l’hexagone devienne, de la même manière, égal à deux droits, on aura un quadrilatère circonscrit, et ce théorème :

Dans tout quadrilatère circonscrit à une courbe du second ordre , les deux diagonales et les droites qui joignent les points de contact des côtes opposes se coupent en un meme point.

3ia

222. Triangle circonscrit. — Si un troisième angle de l’hexagone devient égal à deux droits, on a un triangle circonscrit, et le théorème suivant :

Dans tout triangle circonscrit à une courbe du second ordre, les droites menées des sommets aux points de contact des côtés opposés se coupent en un même point.

Des foyers.

223. En traitant précédemmentlaquestiondesfoyerspour ' chacune des trois lignes du second ordre , nous avons donné une définition des foyers, qui s’applique seulement au cas particulier où les axes de ces courbes coïncident avec les axes des coordonnées; la définition générale des foyers est

la suivante :

On nomme Joyer d’une courbe un point dont la distance à un point quelconque de cette courbe est une fonction rationnelle et entière du premier degré, my -+- nx 4- p, des coordonnées du point de la courbe.

Si l’on désigne par a et (i les coordonnées du foyer, l’expression de la distance d de ce point à un point quelconque de la courbe, ayant pour coordonnées x et jy, sera (en supposant les axes rectangulaires) :

d = \j(y — P)1 4- (x — ot)J = my 4- nx 4- p,

d’où

(«) [y~ P)’ -t- ('JT — a)1 — (my 4- nx + p)1 = o.

Quelles que soient les valeurs déterminées pour a, fi,m, n, p , cette dernière relation a lieu entre x et y pour un point quelconque de la courbe; par conséquent, le premier membre de l’équation (n) est égal au premier membre de l’équation générale

( b ) A y‘‘ -4- B xy 4- Cx34- D/ 4- Ex 4- F = o,

multiplié par un facteur numérique. Désignant par X ce

QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES DU '2' DEGRÉ. 3l3

facteur numérique, le premier membre de l’équation («) etle produit ).A/S 4- /. Bxy 4- ACx* 4- XDj-t- AEx 4- AF doivent être identiques. En développant les calculs, on aura

les équations :

. [ AA = i — m- , . (i)

L AC = i — n2, (a)

! AB = — 2. m/i, (3)

j AD = — *{$+mp), (4)

4 AF = a’ 4- (F — p2 • (6)

( Lorsqu’on attribue une valeur déterminée à chacune des quantités m, n, p, l’équation my 4- nx 4- p = o représente une droite. La distance â d’un point de la courbe à cette droite, et la distance d du même point au foyer, sont dans un rapport constant. En effet, la distance d d’un pointx', y\ de la courbe à la droite dont il s’agit, a pour expression

- - — - ; la distance d du même point de la courbe

^ ni2 -\-n2

au foyer est my' 4- nx' 4- p ; on a donc

On nomme directrice la droite my 4- nx 4- p — o.

Si l’on élève au carré les deux membres de (3), et qu’on en retranche le quadruple produit des deux membres de (i) et (2) , on aura

donc , suivant qüe B* — 4 AC sera <0, >0, = o ; m* 4- ns sera <[ 1 , 1 , = 1 .

Pour trouver lescjuantités a, /3, m , n, />, A, l’équation (b) étant donnée, on distinguera le cas où cette équation représente une ellipse ou une hyperbole, de celui où elle représente une parabole.

Si 4

Quand l’équation ( b ) est celle d’une ellipse ou d’une hyperbole, on peut supposer la courbe rapportée à son centre ; car, ayant déterminé dans cette dernière hypothèse, les valeurs de « et de (3 , il suffit d’augmenter ou de diminuer, respectivement ces valeurs des coordonnées du centre, pour avoir ces mômes valeurs dans la première hypothèse.

Les équations (c) deviennent, en plaçant l’origine au centre de la courbe ,

/ A A = i — in*,

( AC = i — n\

1 AB = — 2 mit,

j o = p 4- mp ,

I o = a 4- np ,

Les équations (4) et (5) conduisent à la relation p -+-<*’ = («’ 4- "’) />’•

Portant la valeur a2 4- |33 dans (6), il vient

AF' = (m* 4- — i )pii