V F = — V D 3 — VE

ou enfin ,

Dp +Ea-

Les équations (/) et (A) étant celles de deux droites, il en résulte que, dans la parabole , il n’existe qu’un foyer placé à l'intersection de ces droites, dont l’une (*") est perpendiculaire à la directrice.

On déterminera m* et n1 par les relations (i) et (a),

et /;* par l’équation (6), après avoir calculé a et L’équation ( J ) montre que nip n’a qu’une seule valeur : or, nr n’a

qu’une valeur: donc il en est de même de — • On conclut 1 ni

de là, puisque ~ n’a aussi qu’une valeur, qu’il n’existe

qu’une directrice pour la parabole.

Du nombre des points déterminant une. courbe du second degré.

224. En reprenant l’équation générale du second degré, (t) A/’ + Bx/ Cx’ -4- Dy -(-Ex -4- F = o,

nous ferons observer qu’il est permis de diviser tous les coefficients de cette équation par l’un quelconque d’entre eux } il n’y a donc que cinq coefficients ou paramètres à calculer. Il faudra, en général, cinq conditions, ou cinq points , pour déterminer une ligne du second ordre.

Quatre conditions suffisent pour une parabole, puisque Von a entre les coefficients de l’équation (i) la relation

B’ —4 AC = o.

Proposons-nous de trouver l'équation d’une section conique qui jmsse par cinq points donnés (fig. 119).

Soient A, 13, C, D, E les cinq points. Nous choisirons les axes de manière que chacun d’eux passe par deux des points donnés, et nous nommerons x' et x" les abscisses des points A et 13 ; y' et y" les ordonnées des points C et D ; x'" ex. y1" les coordonnées du point E. En mettant successivement ces valeurs dans l’équation (î), nous trouverons les cinq équations

A/’ 4- D /' -+- F o , A 4- Dy" ■+■ F = o ,

O'4 + F.x'h-F = o, C a"* -4- Ex" 4- F = o ,

A/"" 4- B xmf' 4- C.r"- 4- D/” 4- Ex" 4- F = q .

QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES DU 2' DEGRÉ. 3iy

Divisant, comme nous l’avons dit plus haut, tous les termes par l’un quelconque des coefficients, F par exemple, les équations à résoudre seront :

J./4- 1 =°, ÿ/ *-+■ p/ + Is=°»

- yw-t- F J

-/’+l=rO

Le calcul n’ offre aucune difficulté, et conduit aux valeurs suivantes :

B , rr(^,y>y) *•(*-*•-*) 1

En portant ces valeurs dans l’équation (i), après avoir aussi divisé tous ses termes par F, on obtient l’équation demandée.

Les rapports précédents ne seront ni infinis ni indéterminés, si aucune des quantités x', x",y',y", x"',ym, n’est égale à zéro, c’est-à-dire si parmi les cinq points , il n’y en a pas trois en ligne droite. Cette condition est nécessaire,

et lorsqu’elle sera remplie, on trouvera pour 5,

? , un système unique de valeurs ; donc, par cinq points

donnés, quand il ny en a pas trois en ligne droite, on peut toujours faire passer une section conique , mais on nen peut faire passer qu’une.

225. La connaissance du centre donne deux conditions ; car si l’on met les coordonnées x', y', de ce point dans les

«•quations (n° 95) , on aura deux équations entre les coefficients de l’équation (i). Le foyer représente aussi deux conditions; puisqu’on écrivant dans les équations de ce point (n°223) les coordonnées connues, on obtiendra deuxrelations entre les coefficients à calculer.

Donner une tangente, c’est établir une seule condition.

En effet, quand on veut exprimer qu’une droite touche l’une quelconque des courbes représentées par l’équation (i), on .est conduit à une relation unique entre les coefficients.de cette équation. Si l’on connaîtla tangente et son point de contact, on aura deux conditions.

Traitons la question dans ce dernier cas, et supposons que la courbe doive toucher la droite O Y (fig. 120) au point C, dont l’ordonnée est y'. Si l’on fait x == o dans l’équation (1) , il vient

A y* 4- Dy 4- F = o,

~ y/ D' — 4 AK.

Ces deux valeurs devant être égales à y7, 011 trouve les deux «•quations

IV — 4 AF = o, — — = /.

O11 a deux conditions, quand on connaît une directrice ou une asymptote ; car, en égalant les coefficients de l’une de ces deux lignes aux deux constantes qui déterminent sa position , on forme deux équations entre les coefficients de l’équation (i)>

Il faut examiner attentivement les conditions énoncées pour ne pas s’exposer à compter deux fois la même : ainsi , quand on donne en même temps le centre et l’asymptote, on n’a que trois conditions, parce que l’asymptote

sgSK'

bjgiféëd by Gopgl

* QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES DU 2e DEGRÉ. 321

passant par le centre, une seule constaüte détermine sa position.

L'équation la plus générale du cercle

;' + i'+2 cos 0 xy •+• ay -j~ bx c = o

ne renfermant que trois coefficients ou paramètres, trois condi tions seulement sont nécessaires pour déterminer cette courbe.

Quoiqu’il soit facile de voir maintenant quelle est la marche générale à suivre pour déterminer une ligne du second ordre satisfaisant à des conditions données, pour répandre plus de clarté sur ce sujet, nous traiterons la question suivante :

Connaissant pour une parabole deux tangentes OA , OB (flg. i2i) , et leürs points de contact A et B, trouver l’équation de la courbe.

Nous prendrons les deux tangentes pour axes des coordonnées.

L’équation de la parabole sera de la forme

(1 ) y2- f- 2 axy -f- a2 x2 -+- by •+• ex -+- d = o,

puisque les trois premiers termes forment un carré parfait , et qu’on peut réduire à l’unité le coefficient de^*. Désignons OA par x' et OB par y' . En faisant y = o dans (i) , on obtient l’équation

a1 x2 -f- ex -f- d = o ,

dont les racines doivent être égales à x'-, ce qui conduit à

Si l’on fait x = o , l’équation résultante y*+ by 4- (/ — o

aura ses

racines égales à y1, et l’on trouvera

Les équations (5) et (4) donnent

i> = — o- y, d=y,i de (a) et (3) on tire ensuite

En substituant, on arrive aux équations