OM OM' OM^
Oui ~~ Om' ~ (W7 ’
la courbe ab sera semblable à AB.
Si l’on imagine que la courbe a' b' soit reportée en ab , et que les lignes Ont, Om', Om", etc., se placent en on, on', on", etc., les points O et o , d’où partent les rayons proportionnels, sont nommés centres de similitude. Les rayons de l’une des deux courbes font entre eux les mêmes angles que ceux de l’autre courbe auxquels ils sont proportionnels, et qu’on peut appeler homologues.
La courbe ab peut avoir telle position que l’on voudra à l’égard de AB, sans cesser de lui être semblable. Quand cette position est telle, que les rayons de l’une soient parallèles à leurs homologues dans l’autre, on dit que les
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courbes sont semblablement situées. Lorsqu'elles sont disposées comme AB et a' b', de manière que les rayons homologues partent du même point et soient dirigés suivant la même droite, elles ont même centre de similitude, et situations semblables.
Le rapport constant qui existe entre les rayons vecteurs homologues se nomme rapport de similitude.
227. Proposons-nous actuellement le problème suivant : L’équation d’une courbe étant donnée , trouver l’équation générale des courbes semblables.
Soit AB [fig- 1 23) la courbe dont on donne l’équation
en menant de l’origine les rayons OM , OM', etc., et les divisant proportionnellement en ni, m! , etc., le lieu des points m, ni', etc., sera une courbe ab semblable à AB. Si l’on désigne par k le rapport de OM à O ni; par x, y, les coordonnées d’un point quelconque M delà courbe AB; par x', y', celles du point homologue m , il est visible qu onaura
d’où
— — f = — “T k x ' ÿ~ O ni
x — kx, y = hy' .
En portant ces valeurs dans F (.r, y) = o, l’équation résultante
(2) f{kx'tky') = o
comprendra toutes les courbes semblables à la proposée, en donnant au rapport k toutes les valeurs possibles.
Nous devons faire observer que ces courbes auront une situation particulière, puisque l’origine est le centre de similitude commun à elles et à la courbe proposée , et qu’en
DF. FA SIMILITUDE DES COURBES. SaS
outre les rayons vecteurs homologues sont diriges suivant la même droite.
Donnons à ces courbes une autre situation , et supposons d’abord que les axes OX, OY, se transportant parallèlement à eux-mêmes en o'X', o' Y', la courbe ab devienne cd. Elle aura, relativement aux nouveaux axes, la même équation (a) que relativement aux anciens. Et, si l’on veut toujours la rapporter à ceux-ci, il faut changer dans cette équation x' en x' — a , et y' en y' — b , 'a et h étant les coordonnées du point o' par rapport aux axes OX , OY. On trouve ainsi l’équation
qui représente toutes les courbes semblables à la proposée et semblablement situées.
Cette équation n’a pas encore toute la généralité désirable; pour l’obtenir, il faut que les axes OX, OY, au lieude se transporter parallèlement à eux-mêmes , soient déplacés d’une manière quelconque dans leur plan. Si l’on suppose qu’ils soient devenus O'X', O' Y' (fig. 124)1 et que cd soit la nouvelle position de la courbe ab\ il est visible que l’équation de cd relativement aux nouveaux axes sera encore
et il s’agit de trouver quelle équation on doit avoir en rapportant la nouvelle courbe aux mêmes axes OX, OY, que AB.
Les deux systèmes d’axes étant obliques, pour passer des ^premiers aux derniers, on a les formules
x sin (0 — a) -4- y' sin (0 — a') x — a H TFT7 ’
x' sin a ■+■ y' sin a' sin 0
3a6 chapitre treiziéme.
dans lesquelles a et b sont les coordonnées de la nouvelle origine O'; 0 l’angle YOX; «, a' les angles X'O'E, Y'O'E, formés par O'X', O' Y', avec une parallèle à l’axe OX. Dans le cas actuel , on a
en introduisant cette condition dans les formules précédentes, on obtient
x' sin(S — <*) —y' sin a
x b + x' sin a + 7' sin (9 -4- a) sin 0
En eflèctuant quelques calculs qui ne présentent aucune difficulté, on déduit de ces relations les valeurs suivantes pour x' et y' :
, [x — «) sin ( 0 -f- a ) -4- { y — b ) si n a
sin 0
y — (•*■ — a) sin a -4- (y — b) sin (6 — a)
sin 0
Si r on porte ces valeurs dans l’équation F(W, k/) = o,
la courbe cd sera rapportée aux axes primitifs, et l'on aura , de cette manière, l’équation la plus générale des courbes semblables à la courbe donnée.
228. Nous allons appliquer cette théorie générale aux courbes du second ordre. Pour le faire d’abord le plus simplement possible, nous rapporterons l’ellipse et l'hyperbole à leurs axes principaux.
L équation de la première courbe étant
si l’on prend le centre de la courbe pour centre de simili-.
