DE LA SIMILITUDE DES COURBES

lude, el si l’on désigne toujours par A le rapport de similitude, l’équation des courbes semblables à la proposée sera

ou, en supprimant les accents,

Ce qui apprend que toutes les courbes semblables à une ellipse sont des ellipses.

Si dans l’équation générale de ces dernières courbes, on fait successivement y = o, x = o, pour avoir les grandeurs des axes on obtient

Donc, pour que deux ellipses soient semblables , il faut el il sujjit que leurs axes soient proportionnels . O11 arrive exactement aux mêmes conséquences pour l’hyperbole.

En appliquant la méthode à la parabole y' = 2 px, on obtient

k7y7—‘ipkx , d’où y7=z-i-x.

O11 en conclut que toutes les paraboles du second degré sont semblables .

229. La règle très-simple que l’on vient d énoncer au sujet des ellipses et des hyperboles , a l’inconvénient d’exiger que l’on rapporte ces courbes à leurs axes principaux , ce qui entraîne dans des calculs assez longs. Il est donc important de chercher une autre règle au moyen de laquelle on puisse . facilement connaître, à l’inspection de leurs équations, st deux courbes à centre sont ou ne sont pas semblables. Soient

A /’ 4- B xy 4- C x7 -+• D y -+- E x 4- F = o ,

A 'y7 -t- B'xy 4- C'x7 4- D'r 4- Wx 4- F' = o ,

les équations de deux ellipses ou de deux hyperboles, rap-r portées à des axes rectangulaires. Si on les rapporte à leurs axes principaux, on aura deux équations de la forme

My1 + Nx’+ P = p,

M'y’ -+- Pi 'je* 4-P'=o;

et les longueurs de leurs demi-axes seront données par les formules

Comme on doit avoir (n°228) p= y, il viendra

N' M' Jt , M — N M' — N' .

N— ¥’ OU M -t- N M' •+- N' ’

mais on a trouvé (page 162)

y/(A — G)’-l-B’ y^A' — C')’ -h BM A ■+• C ~ A' 4- C 5

élevant au carré et divisant chaque numérateur par le dénominateur correspondant, il vient

’ H" (A + CJ’ ~ ‘ l" ( A' -f- C' )’ ’

d’où

230. Si l’on veut que les deux courbes semblables soient semblablement placées, il faut que leurs axes homolo-

gues soient parallèles, ce qui exige que