La relation
obtenue (n°229), étant satisfaite d’ elle-même quand les deux courbes sont des paraboles, on en conclura que cette équation exprime la condition générale de similitude des courbes du second ordre.
Pour exprimer que deux courbes du second ordre sont égales, il faut écrire qu’elles sont semblables et que leur rapport de similitude est l’unité; ce qui donne les deux équations de condition
B3 — 4 AC B'3 — 4 A'C' V (A-4-C)1 (A-t-C )'3 (A'-f- C')3 ** V7- (A'-t-C')*'
Ces deux équations conviennent aux paraboles aussi bien qu’aux deux autres courbes du second ordre , car la pre- . mière est toujours satisfaite dans le cas de la parabole , et la seconde exprime que les paraboles ont le même paramètre, comme on le vérifie facilement en exprimant dans V et V', que IP — 4 AC et B'* — 4 A'C' sont nuis.
IDEKTITÉ DES COURBES DU 2e DEGRÉ, ETC.
IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DEGRÉ ET DES SECTIONS CONIQUES ET CYLINDRIQUES.
234. Proposons-nous de déterminer les courbes obtenues en coupant, par un plan, un cône droit à base circulaire. Ces courbes se nomment sections coniques.
Soit MON ( fig . ia5) l’intersection du cône et d’un plan quelconque; par l’axe SC menons un plan perpendiculaire à celui de la section, il coupera la surface conique suivant deux génératrices opposées SA, SB; et sa trace sur le plan sécant MON sera une droite OX. Prenons cette droite pour axe des abscisses , et la perpendiculaire OY menée à OX dans le plan de la courbe, pour axe des ordonnées. Par un point quelconque M de la section, conduisons l’ordonnée MP. Posons OP = x , MP = y ; et cherchons la relation générale qui existe entre x et y.
En menant par le point P une perpendiculaire GH à l’axe du cône, le plan conduit par cette perpendiculaire et l’ordonnée MP sera perpendiculaire à l’axe et déterminera, par conséquent, sur la surface conique une circonférence GMH.
La droite MP, intersection des plans GMH, MON, perpendiculaires au plan ASB, est elle-même perpendiculaire à ce dernier plan, et, par suite , au diamètre GH de la circonférence. 11 en résulte alors
r* =GPxPH.
Nommons 2 6 l’angle au sommet du cône, a. l’angle SOX, et d la distance SO; on comprend que la forme et les dimensions de la courbe dépendent de ces quantités; et que pour obtenir son équation, il faut exprimer GP, PH en fonction de ar, dejr, et de ces mêmes quantités.
A cet effet , menons PD parallèle à SB et OKL perpendiculaire à l’axe SC, et rencontrant au point I la droite PD.
Le triangle POG donne
d’où
GP : x : : sin a : cose,
GP
x sin a cos 6
Pour obtenir PH, nous ferons remarquer que l’on a PH = 2 OK — 01.
Mais
OK. = rf.sin 6, et le triangle OPI donne
